【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，
再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|?|PB|求出λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2；
由题意，△F1F2C为直角三角形， ∴
=
++
，解得b=c==1；
a，
∴椭圆E的方程为
代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，
又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3， ∴椭圆E的方程为
2
+=1；
由b=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′， 如图所示；
y，
则==，
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==，
两式相比，得：=，
由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|?|P′B′|， 所以
=，即λ=，原命题成立．
【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT=，l′平行OT， 得l′的参数方程为代入椭圆E中，得整理得2t2+4t+
+2
﹣4x0+4=0；
，
=6，
设两根为tA，tB，则有tA?tB=而|PT|2=|PA|=|PB|=
且|PT|2=λ|PA|?|PB|， ∴λ=
=
=，
=2
；
，
=|=|
tA|， tB|，
即存在满足题意的λ值．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
21．（2017?包头一模）已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
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（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值．
【分析】（Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t即得．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f'（x）＞0， 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增， 故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根， 而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2（10分）． 【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
22．（2017?清城区校级一模）在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲
线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，
B两点．
（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点P（0，
），求
+
．
【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）
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2
+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；
=1中，得+
．
，
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程运用韦达定理，参数的几何意义，即可求
【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲线C1的直角坐标方程为∴曲线C表示焦点坐标为（﹣
=1， ，0），（
，0），长轴长为4的椭圆
=1中，得
．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程设A、B两点对应的参数分别为t1，t2， ∴t1+t2=﹣∴
+
，t1t2==|
， =．
【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，属于中档题．
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