∴GH= 又∵GH∥AB
①
同理：①+②，得
∴∴CD=
【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．
3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
②
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径，
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∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴
=
=
，即
=
=，
∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=
．
4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：FG是⊙O的切线；
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（2）若tanC=2，求的值．
【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得问题；
【解答】（1）证明：连接AD.OD．
=
=
=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG是⊙O的切线． （2）解：∵tanC=∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD，
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=2，BD=CD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a． ∴
=
=
=，
∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）求证：∠EDF=∠DAC．
（1）解：
连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°． ∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．
∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA=AM=
OM=
．
，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣
﹣
=3π﹣
； =，
∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3
30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=
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（2）证明：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD． ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD． ∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC． ∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC． ∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC． ∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC． ∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．
∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．
6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF． （1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED； （2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
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