11.锐角三角函数
知识考点：
本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sina、cosa、tana、cota准确表示出直角三角形中两边的比（a为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
精典例题：
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。 （1）求AB的长；
（2）求sinA、cosA的值； （3）求sin2A?cos2A的值；
（4）比较sinA、cosB的大小。
分析：在Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA、cosA的大小，从而便可以计算出sin2A?cos2A的大小，即可比较sinA与cosB的大小。
答案：（1）AB＝13； （2）sinA＝
512，cosA＝； 1313 （3）sin2A?cos2A?1； （4）sinA＝cosB 变式：（1）在Rt△ABC中，∠C＝900，a?5，b?2，则sinA＝ 。
（2）在Rt△ABC中，∠A＝900，如果BC＝10，sinB＝0.6，那么AC＝ 。 答案：（1）
5；（2）6 30020【例2】计算：sin60?cot30?sin45
解：原式＝
3132?3?()2＝?＝2
2222注意：熟记00、300、450、600、900角的三角函数值，并能熟练进行运算。 【例3】已知，在Rt△ABC中，∠C＝900，tanB?5，那么cosA（ ） 2A、
25525 B、 C、 D、
3235分析：由三角函数的定义知：cosA??A的对边5，又因为tanB?，所以可设
斜边2
AC?5k，BC?2k(k?0)，由勾股定理得AB?3k，不难求出cosA?答案：B
变式：已知?为锐角，且cos??5k5 ?3k34，则sin??cot?＝ 。 5略解：可设?为Rt△ABC的一锐角，∠A＝?，∠C＝900 ∴AC＝4k，AB＝5k，则BC＝3k ∴sin??cot??3k4k3429???? 5k3k5315评注：直角三角形中，只要知道其中任意两边的比，可通过勾股定理求出第三边，然后应用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值。
【例4】已知tan??cot??3，?为锐角，则tan2??cot2?＝ 。 分析：由定义可推出tan??cot??1
∴tan2??cot2??(tan??cot?)2?2tan??cot??32?2?7
评注：由锐角三角函数定义不难推出sin2A?cos2A?1，tan??cot??1，它们是中考中常用的“等式”。
探索与创新：
【问题】已知300?????900，则(cos??cos?)?cos??23?1?cos?2＝ 。
分析：?在00～900范围内，sin?、tan?是随?的增大而增大；cos?、cot?是随?的增大而减小。∴cos?－cos?＜0，又不难知道cos300＝
33，cos00＝1，∴cos??＜0，221?cos?＞0。
∴原式＝cos??cos??cos??32?3 ?1?cos?＝
22变式：若太阳光线与地面成?角，300＜?＜450，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（ ）（取3?1.7）
A、3＜h＜5 B、5＜h＜10 C、10＜h＜15 D、h＞15
略解：∵300＜?＜450
∴tan300＜?＜tan 450 而h?10tan?
00 ∴10tan30?h?10tan45
∴5.7＜h＜10 答案：B
跟踪训练：
一、选择题：
1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若tanA?3，则sinA＝（ ） 44353A、 B、 C、 D、
34352、已知cos?＜0.5，那么锐角?的取值范围是（ ）
A、600＜?＜900 B、00＜?＜600 C、300＜?＜900 D、00＜?＜300 3、若3tan(??100)?1，则锐角?的度数是（ ）
A、200 B、300 C、400 D、500 4、在Rt△ABC中，∠C＝900，下列式子不一定成立的是（ ）
A、cosA＝cosB B、cosA＝sinB
C、cotA＝tanB D、sin5、在Rt△ABC中，∠C＝900，tanA?CA?B?cos 221，AC＝6，则BC的长为（ ） 3 A、6 B、5 C、4 D、2 6、某人沿倾斜角为?的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ）
A、
100100米 B、100sin?米 C、米 D、100cos?米 sin?cos?3cot300的值是（ ） 37、计算cos600? A、
7533?2 B、 C、 D、 2622二、填空题：
1、若?为锐角，化简1?2sin??sin02?＝ 。
2、已知cot??cot35?1，则锐角?＝ ；若tan?＝1（00≤?≤900）则
cos(900??)＝ 。
200000203、计算sin27?tan42?tan48?cos90?cot21?sin63＝ 。
4、在Rt△ABC中，∠C＝900，若AC∶AB＝1∶3，则cotB＝ 。 5、△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cosB＝ 。
6、已知，在△ABC中，∠A＝600，∠B＝450，AC＝2，则AB的长为 。 三、计算与解答题：
00000001、sin90?sin30?tan0?cos60?tan45?cos0?cot90；
2、△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且tanB?3?(2sinA?3)?0，试确定△ABC的形状。
3、已知a?sin600，b?cos450，求四、探索题：
1、△ABC中，∠ACB＝900，CD是AB边上的高，则
2a?2bb?的值。 a?bb?aCD等于（ ） CB A、cotA B、tanA C、cosA D、sinA
2、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为?，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
11? B、 sin?cos?C、sin? D、1
3、已知sin??cos??m，sin??cos??n，则m与n的关
A、系是（ ）
A、m?n B、m?2n?1 C、m2?2n?1 D、m2?1?2n 4、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2?ab?b2?0，则tanA等于（ ） A、1 B、
1?51?51?5 C、 D、 222
跟踪训练参考答案
一、选择题：
1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B 7.C
二、填空题：
1、1－sin?； 2、550，三、计算与解答题：
1、2； 2、等边三角形； 3、5?26 四、探索题：
1.C 2.A 3.C 4.B
12； 3、2； 4、22； 5、； 6、1?3
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