?2n?11?在n?N上为增函数，?(bn)max? 9分 n611122?不等式t?2mt??bn(n?N)恒成立，即t?2mt??对?m?[?1,1]恒成立
666?t2?2t?0解得t????,?2???2,??? 12分 ??2?t?2t?0axa(x2?b)?ax(2x)a(b?x2)20、解：（1）已知函数f(x)?2……2分 ,?f?(x)??2x?b(x2?b)2(x?b)2?a(b?1)?0??a?4?f???1??0?又函数f(x)在x??1处取得极值，??即??a解得：?
??2?b?1??f??1???2??1?b?f(x)?
4x……………………………………………………………4分 x2?1
4x4(1?x2)f(x)?的单调增区间为[?1,1]……6分 （2）由f?(x)?2所以?0?x??1,22x?1(x?1)?m??1?,则有?2m?1?1，解得?1?m?0 若函数f(x)在(m,2m?1)为单调递增函数?2m?1?m?即m???1,0?时，函数f(x)在区间（m，2m+1）上单调递增……………8分
4(1?x2)（3）?f?(x)?2 2(x?1)24(1?x0)21∴直线l的斜率为k?f?(x0)?2?4[?]………10分 2222(x0?1)(x0?1)x0?1令
112?k?[?,4].……13分 ??,???t,t?0,1,则直线l的斜率k?4(2t?t),t?0,122x0?121、解：（1）由(1?3m)x?(3?2m)y?(1?3m)?0(m?R)
得(x?3y?1)?m(3x?2y?3)?0，由??x?3y?1?0，0).……………2分 解得：F(1?3x?2y?3?0?c?1?c?1?x2y2??1……………4分 则?a?c?3??a?2 所以椭圆的方程为?43?a2?b2?c2???b?3x2y2（2）设直线PQ的方程为x?my?c，代入2?2?1得：
ab(a2?b2m2)y2?2b2cmy?b2(c2?a2)?0. 其中??2ab21?m2.……………………6分
?2ab2(1?m2)PQ?1?my1?y2?1?m?222?222. ………………………8分
a?bma?bm22又因为点O到直线PQ的距离d?c1?m2.
所以四边形PQRS的面积SPQRS?4S?OPQ4ab2c1?m2 …………………10分 ?2PQ?d?222a?bm设t?1?m,则t?1.SPQRS24ab2ct4ac??2?. ………………………12分 222cc?btt?2btc2b2t2?c2, 设f(t)?t?2(t?1)，则f?(t)?btb2t2(?)当0?c?1时，即b?c, 得bf?(t)?0,此时f(t)在[1,??)递增,
a24b2cfmin(t)?f(1)?2.(SPQRS)max?.
ba(??)当
ccc?1时，即b?c时, 此时f(t)在[1,]递减, 在(,??)递增, bbbc2cfmin(t)?f()?.(SPQRS)max?2ab.
bb所以：当b?c时, (SPQRS)max
4b2c? ；当b?c时, (SPQRS)max?2ab.. ………………14分
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