20 三角形的边与角(含解析)
一、选择题
1．（4.00分）（2018?台州）如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外
心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值 C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；MA：三角形的外接圆与外心；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，从而得△ADF≌△CGE；
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论； C、根据S
四边形
FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：
1S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；
3D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG=
1?FG?OH，FG变化，2故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
【解答】解：A、连接OA、OC， ∵点O是等边三角形ABC的外心， ∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等， 由折叠得：DO平分∠BDB'， ∴点O到AB、DB'的距离相等， ∴点O到DB'、AC的距离相等， ∴FO平分∠DFG，
1（∠FAD+∠ADF）， 21由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
21∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
2∠DFO=∠OFG=
∴∠DOF=60°， 同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴OD=OG，OE=OF，
∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB， ∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE， ∴AD=CG，AF=CE， ∴△ADF≌△CGE， 故选项A正确；
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE， ∴B'G=AD，
∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值）， 故选项B正确；
1C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），
3故选项C正确；
D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF =S△OFD+△AD
F=S
四边形OFAD
=S△OAD+S△OA
F=S△OCG+S△OAF
=S△OAC﹣S△OFG， 过O作OH⊥AC于H， ∴S△OFG=
1?FG?OH， 2由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，
故选项D不一定正确； 故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，
2．（4.00分）（2018?温州）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，
另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，3）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（3，3） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【专题】55：几何图形．
【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可． 【解答】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0）， 所以图形向右平移1个单位长度，
所以点B的对应点B'的坐标为（0+1，3），即（1，3）， 故选：C．
【点评】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点．
3．（4.00分）（2018?温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三
角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C．
9953 D． 42【考点】1O：数学常识；KR：勾股定理的证明． 【专题】1 ：常规题型．
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求