注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于lim有arctanx~x，(x?0).
另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有
arctanxsinx?1故?1，故有sinx~x,(x?0).又由于limx?0x?0xxtaxnx，~(x?0)；
sinx?x,(x?0)，而推出的
limtanx?sinxx?x?lim?0则得到的结果是错误的。
x?0x?0sinx3sinx3小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化
解题。
12.利用函数的连续性求极限
利用函数的连续性求极限包括：如函数f(x)在x0点连续，则 limf(x)?f(x0)及
x?x0若lim?(x)?a且f(u)在点a连续，则limf??(x)??f?lim?(x)?
x?x0x?x0?x?x0???例7：求limex?01?cosx2arcsinx2的极限
解：由于lim1?cosx1?cosx114?u?及函数在处连续，故 ??fu?ex?02arcsinx244
2x?02arcsinx2lime2arcsinx?ex?0lim1?cosx?e
1413.利用泰勒公式求极限
由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例13：求
x2?2x2?2 limcosx?ex?0x4cosx?ex?0x4(n?4)limx4??0(x5)1x2x412?lim??1???0(x5) 4x?0x12224解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考
虑到极限式的分母为x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取(n?4)
4x2x4cosx?1???0(x5)
224e?x22x2x4?1???0(x5)
212?x22cosx?ex4???0(x5)
12x2?2因而求得limcosx?ex?0x4x4??0(x5)1?lim124?? x?0x1214.利用两个准则求极限
(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当n?N时，有xn?yn?zn且
limxn?limzn?a则有limyn?a .
x??x??x??利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn。 例:14 xn?1n?12?1n?12?......?1n?n2
求xn的极限
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项 xn?1n?112?1n?1?12?......?1n?112?nn?n?n2
xn?nn?n2n?1?xn?n2n?11 2?......?n?12n?n2
则n?12 又因为
limx??n?n2?limx??nn?12?1
limyn2?lim(yn?1?a)l2?l?ayn?0x??x??1?4a?1limyn?l?x??2
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：15 证明下列数列的极限存在，并求极限。
y1?a,y2?a?a,y3?a?a?a,??????,yn?a?a?a????????a
证明：从这个数列构造来看
yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。
又因为y2?a?y1,y3?a?y2,??????,yn?a?yn?1 所以得yn2?a?yn?1. 因为前面证明yn是单调增加的。 两端除以yn得yn?a?1 ynaa?a, 从而?1?a?1
ynyn 因为yn?y1?a则
a?yn?a?1
即yn 是有界的。根据定理?yn?有极限，而且极限唯一。
2 令limyn?l则limyn?lim(yn?1?a)
x??x??x?? 则l?l?a.因为yn?0解方程得l?21?4a?1 2 所以limyn?l?x??1?4a?1 215.利用级数收敛的必要条件求极限
利用级数收敛的必要条件：若级数
??n?1?n收敛，则?n?0?n???运用这个方法首先
判定级数
??n?1?n收敛，然后求出它的通项的极限
例：16 求limnnx???n!?2
解：设an?nn?n!?2
n?12?n?1???n!? a 则limn?1?lim2nn??an??nn?1!??n????1?1? ?lim??1??
n??n?1?n? ?0?1 由比值判别法知
n?an?1?n收敛，由必要条件知limnnn???n!?2?0
16.利用单侧极限求极限
形如：
1） 求含a的函数x趋向无穷的极限，或求含a的函数x趋于0的极限; 2）求含取整函数的函数极限; 3）分段函数在分段点处的极限;
4）含偶次方根的函数以及arctanx或arcctanx的函数，x趋向无穷的极限. 这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。
x1x1?xsin,x?0?例：17 f(x)?? x2??1?x,x?0求f(x)在x?0的左右极限
1?1
n?0x1x?sin?1 limn?0?x 解：limx?sin
f(x)?lim?f(x)?1 lim?n?0n?0 x?0limf(x)?1
总结
以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。
参考文献：
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[2] 刘小军:高等数学解题方法.云南广播电视大学理工学院学报.2006.08 [3] 刘书田：高等数学.北京大学出版社.2005
[4] 陈 璋：朱学炎等.《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社.2006 [5] 郝 涌：卢士堂等.《数学考研精解》.华中理工大学出版社.2004