这与A?E为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化
性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的n阶矩阵且有AB?BA，则AB也为幂零
矩阵 证明：?A为幂零矩阵 ??k?Z?s.tAk?0
kkkk 又AB?BA (AB)?AB?0?B? 0 ?AB也为幂零矩阵 得证
性质7：若A为幂零矩阵且Ak?0，则有(E?A)?1?E?A?A2????Ak?1
(mE?A)?1?1111E?2A?3A2????(?1)k?1kAk?1mmmm(m?0)
kkk?E?A证明：?Ak?0 ?E?E?A
?(E?A)(E?A?A2????Ak?1) 即(E?A)?1?E?A?A2????Ak?1 任意m?0，有
?mE?mE?Ak?mEk?Ak?m[Ek?(Ak)] m1 ?m(E?A111?1)E(?1A?2A2?????(k1)k?1Ak?mmmm )(? ?(mE?A)E1121k?1k?1A?A?????(1)A )m1m2mk?1 即有(mE?A)?1111(E?1A?2A2????(?1)k?1k?1Ak?1)?E mmmm?(mE?A)?1?
1111(E?1A?2A2????(?1)k?1k?1Ak?)1mmmm
E111??2A?3A2????(?1)k?1kAk?1mmmm性质8：若A为幂零矩阵且A?0，则A不可对角化
但对任意的n阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得B?N可对角化 证明：?A为幂零矩阵 ??k?Z?s.tAk?0且A的特征值全为零
f(?)??E?A??n为A的特征多项式且f(A)?An?0
令mA(?)为A的最小多项式，则有mA(?)|f(?) 从而有mA(?)??k0(1?k0?n)
k0?2 由于A?0,?k0?1，又此时 mA(?)??k0即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化
?B为n阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得
?J1?BT?????J2??????Js? T?1
??i???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??????1?i????i? 令 Di??????i???阶数为n(i?1,2,?,s)
i????i??0???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 则有Ji??Ji?Di??i??????10?? 由引理8，知(Ji??0?Eni)ni?(Ji?)ni?0 即Ji?为幂零矩阵(i?1,2,?,s)
?J??1?? 现令J???????J1? T?1BT????????J2?????Js????D1? D?????D2??????Ds?
J2???J1??D1?????????Js????J2??D2?????J??D???Js??Ds??
即B?T(J??D)T?1?TJ?T?1?TDT?1??(1)
又D为对角阵，由（1）式知 B?TJ?T?1?TDT?1可对角化 令N=?TJ?T?1 且取 k?max(n1,n2,??,ns) 则有
?J?k?1?k?J??????J2?k?????0???Js?k??
N?(?TJ?T)?(?)T(J?)Tk?1kkk?1?J?k?1?k?(?)T?????J2?k????1k?1?T?(?)T0T?0???Js?k?? 即有B?N可对角化且N为幂零矩阵 得证
性质9：n阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n且幂零指数等于其若当形矩阵中阶
数最高的若当块的阶数
证明；令A为n阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得
?J1? T?1AT?????J2??????Js?
?0???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??????10??且(Ji)ni?0 1?ni?n(i?1,? , 2,s取k?max(n1,n2,??,ns)，则k?n 且有
?J1?kA?(T?????J1k????T?1)k?T???????Js?????T?1?T?0?T?1?0?(1.5)???k?Js?J2J2k即Ak?0
若令k0为A的幂零指数，则k0?k?n Ak0?0 若k0?k，则?i0s.tni0?k0 且Ji0k0?0
由（1.5）式，得
?J1?k0A?(T????J2?J1k0????T?1)k0?T???????Js??J2k0???T?1?0 ???Jsk0??这与Ak0?0矛盾。 k0?k?n 得证
性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三
角形
证明：令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0
若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值 ?B的特征值也全为0，由性质1，知 B也为幂零矩阵 A为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得
?J1? T?1AT?J?????J2??????Js?
?01??????阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??1???0??且(Ji)ni?0 1?ni?n(i?1,? , 2,s由性质9，知 kA?max(n1,n2,??,ns)为A的幂零指数 又A与B相似，A与J相似 从而有B也与J相似
?J1???可逆矩阵P 使得P?1BP?J?????J2??????Js?
又由性质9，知 kB?max(n1,n2,??,ns)为B的幂零指数 从而有 kA?kB
?01?????? (i?1,2?,s,为严格上三角 又Ji????1???0???J1??J?????J2??????Js?也为严格上三角形
即A，B都相似于严格上三角形J 得证
性质11：若A为幂零矩阵，则A?,A?,?A,mA(m?Z?)都为幂零矩阵，特别
有(A?)2?0
证明：?A为幂零矩阵 ??k?Z?s.tAk?0
k由引理1，知 (A?)?A(k?)???0 0k (A?)?A(k?)??0? 0kk (?A) ??(1kA)k??(?1)?0?A?,A?,?A都为幂零矩阵 (mA)k?(m)kAk?(m)k?0?0 ?mA(m?Z?)也为幂零矩阵
又?A为幂零矩阵 A?0 即r(A)?n?1 若r(A)?n?1，则有A的所有n?1阶代数余子式都为0 则有 A??0 从而有(A?)2?A??0 若r(A)?n?1，则由性质3知， 存在可逆矩阵T，使得
?J1?J?????J2??????Js? T?1AT?
?0???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 且r(J)?n?1 其中Ji??iii??????10??又显然A与J，所以有