全国名校大联考
2017～2018学年度高三第三次联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A.
B.
，
C.
D.
，则
等于（ ）
【答案】A
2. 数字2.5和6.4的等比中项是（ ） A. 16 B. 【答案】D
【解析】设等比中项为 ，则3. 不等式A. C.
B. D.
，所以数字
的解集为（ ）
的等比中项是
， 故选D.
C. 4 D.
【答案】C 【解析】由不等式故选C. 4. 设A.
B.
C.
，则（ ）
D.
，得
，即
，解得
解集为
，
【答案】B 【解析】5. 已知数列
，“
为等差数列”是“
，
， ”的（ ）
，故选B.
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B “【解析】则
为等差数列”，公差不一定是 ，，则
“不一定成立，即充分性不成立；
，“
为等差数列”是“
，，
”，”
为等差数列，必要性成立，所以数列
的必要而不充分条件，故选B. 6. 若A.
，则下列不等式中一定不成立的是（ ） B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
时，
7. 曲线A. 【答案】B 【解析】设为
，
，曲线
在点
处的切线方程为
化
在点 B.
，
，不正确；成立，故选A.
正确；
正确；
处的切线方程为（ ） C.
D.
，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出
在
处的导数，即
在点
出的切线斜率（当曲线
在处的切线与轴平行时，
.
在 处导数不存在，切线方程为8. 若数列
满足
，
）；（2）由点斜式求得切线方程
，则数列
的前32项和为（ ）
A. 64 B. 32 C. 16 D. 128 【答案】A
【解析】根据题意，由列
前项和
，故选A.
，得
，因
，得
，则数
9. 设A.
满足约束条件 B.
C.
D.
，则目标函数
取最小值时的最优解是（ ）
【答案】B
【解析】
作出表示的可行域，如图三角形内部及边界即为所作可行域，由图知平移至点
处达到最小值，联立故选B.
，解得，即，目标函数取最小值时的最优解是，
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 10. 已知
是等差数列，
，记数列
的第项到第
项的和为，则
取得最小值时
的的值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 6或7 D. 7或8 【答案】C 【解析】的第项到第
是等差数列，
项的和为连续项的和，
满足
，当
，
取得最小值时的值为或，故选C.
时，
，则（ ）
，数列
11. 定义在上的偶函数A. C. 【答案】D
B. D.
【解析】因为定义在上的偶函数满足,又因为
，当，
,
时，
,故选D. 有
，所以
12. 设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数，已知，若一
个各项均为正数的数列第18项A.
（ ）
满足，其中是数列的前项和，则数列中
B. 9 C. 18 D. 36
【答案】C
【解析】对任意的正数
均有
函数，
①，当
时，
，
，
，
，
，故选C.
且
，又
且，又
是定义在
，当
上的单调增时，
，
②，①-②可得
为等差数列
【方法点睛】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前项和之间的关系以及公式
的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当
时，由
时，由
求的值；（2）当
，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；
（4）写出的完整表达式.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13. 不等式【答案】-16 【解析】
.
14. 等比数列【答案】【解析】因为
，中，
，所以
对角线的交点，为平行四边形，则
__________．
，故答案为
所在平面内任意一
.
，
，则
的值为__________． ，因为
，
,不等式的解集为
，故答案为
的解集为__________．
15. 设为平行四边形点，【答案】4 【解析】
，
，故答案为.
16. 若不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
时取得最小值为，所以实数的取值范围是，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查利用单调性求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问① 分离参数题常见方法：图象在
恒成立(
可)或或
恒成立（
② 数形结合(即可）；
上方即可)；③ 讨论最值恒成立；④ 讨论参数.
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数【答案】
在
，求函数
上为减函数，
在
的单调区间与极值． 上为增函数，在，在定义域内，令
时取得极小值求得 的范围，可得函数
在
增区间，
．
【解析】试题分析：求出求得 的范围，可得函数试题解析：∵知
的减区间 ，根据函数的单调性可得函数
，
时取得极小值
则因为当当由此知函数
不在时，
．令的定义域，故
，解得或．
内，故舍去． 在在
上为减函数；
上为增函数．
．
极值的步
时，在
，故
时取得极小值
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题. 求函数骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数
在
；(3) 解方程
求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查
在处取极大值，如果左负右
的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么
正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
18. 某市垃圾处理站每月的垃圾处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月垃圾处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为元．
，且每处理一吨垃圾得到可利用的资源值为100
（1）该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？
（2）该站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要市财政补贴，至少补贴多少元才能使该站不亏损？
【答案】（1）该站垃圾月处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元；（2）该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴40000元才能不亏损.
【解析】试题分析：（1）观察月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式，则可得每吨的平均处理成本为；再由
，利用基本不等式求解；（2）设该单位每月获利元，则，根据二次函数的性质利用配方法即可解答.
试题解析：（1）由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为
当且仅当
，即
．
时等号成立，
故该站垃圾月处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元． （2）不获利．设该站每月获利为元， 因为
，所以
．
故该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴40000元才能不亏损． 19. 已知首项为1的等差数列（1）若数列（2）若【答案】（1）
前项和为
．
的前项和；
是以为首项、为公比的等比数列，求数列
，求的最小值． ；（2）当
时，可得
.
【解析】试题分析：（1）由列
，结合可得，从而求出数，
的公比，再根据等比数列的求和公式可得结果；（2）由（1）知
，化简
，根据二次函数的性质，利用配方法求解即可.
的公差为，则由题意知．
，
试题解析：（1）设数列∵又∴
（2）由（1）知∴
，∴，即
，
．
，
，
， ，