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① 当b?1时，
nn?1n??1，则{}是以1为首项，1为公差的等差数列 anan?1an∴
n?1?(n?1)?1?n，即an?1 ann11n?11??(?) an1?bban?11?b② 当b?0且b?1时，
当n?1时，
n11 ??an1?bb(1?b)∴{11n1为首项，为公比的等比数列 ?}是以
bb(1?b)an1?b∴
n111???()n an1?b1?bbn111?bn∴ ???an(1?b)bn1?b(1?b)bnn(1?b)bn∴an?
1?bn?n(1?b)bn, b?0且b?1?综上所述an??1?bn
?1， b?1 ?（2）证明：① 当b?1时，2an?bn?1?1?2；
② 当b?0且b?1时，1?b?(1?b)(1?b?n?1n?bn?2?bn?1)
要证2an?b即证
2n(1?b)bnn?1?b?1， ?1，只需证n1?b2n(1?b)1?b? nn1?bb2n1?b?即证 n?2n?1n1?b??b?bb1n?2n?1即证(b?n)(1?b??b?b)?2n
b112n?1n即证(b?b??b?b)?(n?n?1?bb?11?)?2n 2bb 金太阳新课标资源网
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∵(b?b?2?bn?1?bn)?(11?(b?)?(b2?2)?bb1111????) bnbn?1b2b11?(bn?1?n?1)?(bn?n)
bb11?2b??2b2?2?bb?2bn?1?n?11n1?2b?n?2n，∴原不等式成立 n?1bb∴对于一切正整数n，2an≤b5、解析：（1）
?1．
k?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：
an?2?an?2an?1
所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8; （2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2)，
?n?4,Sn?4?Sn?2?2(Sn?1?S3),(3);?n?5,Sn?5?Sn?3?2(Sn?1?S4),(4);
当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5) 由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6) 由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7); 由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);
由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2, 由
（
5
）
（
6
）
得
：
an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10);
由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;??an?(n?2)成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2;
2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1 ?a2?3,d?2,?an?2n?1.
2?S2??2a1a2,26、（I）解：由题意?得S2??2S2，
?S2?a2S1?a1a2, 金太阳新课标资源网
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由S2是等比中项知S2?0.因此S2??2. 由S2?a3?S3?a3S2解得
aS23?S??222?1?3. 2?1? （II）证法一：由题设条件有Sn?an?1?an?1Sn,
故SSnn?1,an?1?1且an?1?S?1,S?an?1na, nn?1?1从而对k?3有
aak?1k?1?a?S2k?1ak?1?Sk?2ak?1?1ak?1kS??k?1?1ak?1?Sk?2?1aa?k?1a2.1?k?1?ak?1?1k?a?1k?1?1因a2k?1?a123k?1?1?(ak?1?2)?4?0且a2k?1?0，由①得ak?0 2要证a4ak?14k?3，由①只要证a2?,
k?1?ak?1?13即证3a22k?1?4(ak?1?ak?1?1),即(ak?1?2)2?0. 此式明显成立. 因此a4k?3(k?3). 最后证ak?1?ak.若不然ak?1?a2ka2?ak, k?ak?1又因ak?0,故aka2?1,即(a2k?1)?0.矛盾. k?ak?1因此ak?1?ak(k?3).
证法二：由题设知Sn?1?Sn?an?1?an?1Sn，
故方程x2?Sn?1x?Sn?1?0有根Sn和an?1（可能相同）.
因此判别式??S2n?1?4Sn?1?0.
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①
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又由Sn?2?Sn?1?an?2?an?2Sn?1得an?2?1且Sn?1?an?2.
an?2?12an4an?22?2因此??0,即3an?2?4an?2?0， 2an?2?1(an?2?1)解得0?an?2?因此0?ak?由ak?4. 3(k?3).
43Sk?1?0(k?3)，得
Sk?1?1SkSk?1S?ak?ak(?1)?ak(2k?1?1)Sk?1akSk?1?1Sk?1?1Sk?1?1ak??Sk2?1?Sk?1?1ak?0.123(Sk?1?)?24ak?1?ak?
??因此ak?1?ak(k?3).
6、解析：（I）当n?6时，数列{an}是首项为120，公差为?10的等差数列． an?120?10(n?1)?130?10n; 当n?6时，数列{an}是以a6为首项，公比为 an?70?()3为等比数列，又a6?70，所以 434n?6;
?120?10(n?1)?130?10n,n?6?因此，第n年初，M的价值an的表达式为an?? 3n?6a?70?(),n?7n??4(II)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1?n?6时，Sn?120n?5n(n?1),An?120?5(n?1)?125?5n; 当n?7时，
Sn?S6?(a7?a8?333?an)?570?70??4?[1?()n?6]?780?210?()n?6444
3780?210?()n?64An?.n 金太阳新课标资源网
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因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又
33780?210?()8?6780?210?()9?6477944A8??82?80,A9??76?80,
864996所以须在第9年初对M更新．
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