三角恒等变换与解三角形
A组
π
1．(2017·河北三市联考)若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于 ( B )
3A．－
3323 B． C． D．23 323
[解析] 本题主要考查三角恒等变换．由已知得sinθ＋3cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝3cosθ，所以tanθ＝3
，故选B． 2
4π2
2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于 ( A )
54222224242
A． B．－ C． D．－
5555π2
[解析] sin(α＋)－cosα
42
ππ24222
＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝．
442525(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝
10
，则tan2α＝ ( C ) 2
4334A． B． C．－ D．－ 3443
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sinα＋2cosα＝
105
两边平方可得， sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝， 22
2
4sinαcosα＋3cos2α33
∴4sinαcosα＋3cosα＝，∴＝．
22sin2α＋cos2α将左边分子分母同除以cos2α得，
3＋4tanα312tanα3
2＝，解得tanα＝3或tanα＝－， ∴tan2α＝2＝－． 341＋tanα21－tanα
3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是 ( B ) A．等腰三角形 C．等边三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0， ∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为 ( A ) A．－3 C．1
B．－1 D．3
[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2， 所以tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ3
＝＝－3.故选A．
1－tanα·tanβ1－2
[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．
5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝ ( B ) A．23 C．2
ab
[解析] 由正弦定理得：＝，
sin Asin B∵B＝2A，a＝1，b＝3， ∴
13＝． sin A2sin Acos A
B．2 D．1
∵A为三角形的内角， ∴sin A≠0， ∴cos A＝
3． 2
又0
6π
∴B＝2A＝．
3π
∴C＝π－A－B＝，
2∴△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝12＋?3?2＝2． ππ26．(2016·四川卷)cos2－sin2＝____. 882πππ2
[解析] 由二倍角公式，得cos2－sin2＝cos(2×)＝．
8882
7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__153__.
[解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－1
2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝153．
2
8．(文)(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac. (1)求∠B的大小；
(2)求2cosA＋cosC的最大值．
a2＋c2－b22ac2
[解析] (1)由余弦定理及题设得cosB＝＝＝．
2ac2ac2π
又0<∠B<π，所以∠B＝．
43π
(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则
4
3ππ2222
－A?＝2cosA－cosA＋sinA＝cosA＋sinA＝cos?A－?． 2cosA＋cosC＝2cosA＋cos??4??4?22223π
因为0<∠A<，
4
π
所以当∠A＝时，2cosA＋cosC取得最大值1．
4
(理)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c， (1)求C；
(2)若c＝7，△ABC的面积为
33
，求△ABC的周长． 2
[解析] (1)由已知及正弦定理得， 2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC， 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sinCcos C＝sinC 1π
可得cosC＝，所以C＝．
23133
(2)由已知，absinC＝．
22π
又C＝，所以ab＝6．
3
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25． 所以△ABC的周长为5＋7．
9．(文)(2017·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝5(a2－b2－c2).
(1)求cos A的值； (2)求sin(2B－A)的值．
ab[解析] (1)由asin A＝4bsin B及＝，
sin Asin B得a＝2b．
由ac＝5(a2－b2－c2)及余弦定理，
5－ac5b＋c－a5得cos A＝＝＝－．
2bcac5
2
2
2
25
(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B中，
5asin A5
得sin B＝＝．
4b5
25由(1)知，A为钝角，所以cos B＝1－sin2B＝．
54
于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，
53
cos 2B＝1－2sin2B＝，
5
故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A 4532525＝×(－)－×＝－． 55555
(理)(2017·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，3
sin B＝.
5
(1)求b和sin A的值； π
(2)求sin(2A＋)的值．
4
[解析] (1)在△ABC中，因为a>b， 34
所以由sin B＝，得cos B＝．
55
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以b＝13．
ab
由正弦定理＝，
sin Asin Bsin B313
得sin A＝a＝．
b13所以b的值为13，sin A的值为
313
． 13
213
(2)由(1)及a 1312 所以sin 2A＝2sin Acos A＝， 135 cos 2A＝1－2sin2A＝－． 13 πππ72所以sin(2A＋)＝sin 2Acos＋cos 2Asin＝． 44426