u(t)?kp(e(t)?1tTdde(t) e(t)dt?) （3-1）?0Tidt式中，kp—比例系数，Ti—积分时间常数，Td—微分时间常数。 写成传递函数形式
G(s)?U(s)1（3-2） ?kp(1??Tds)
E(s)Tis当采样周期较小时， 可以用求和代替积分，用差商代替微分，即做如下近似变换来离散
化：
???t?kT???t?et??0??de(t)????dt
??? T??e?j （3-3）
j?0ke(?k)Te?(k1)
式中，k为采样序号，k=1，2，…，T为采样周期。由上式可得离散的PID表达式为：
Tk u(k)?pk(e(?k)?Tij?0Tde(?j)T 1 ) ) ) （3-4） (?e(k)?e(k此式称为PID的位置算式。位置算式使用不方便，累加偏差ej不仅要占大量的内存空间，而且也不便编写程序。最好能转换成某种递推的形式。为此提出了增量式。
所谓增量式PID是指数字控制器输出u (k)只是控制量的增量，当执行机构需要的是控制量的增量时，应采用增量式PID控制。根据递推原理可得
u(k?1)?pke(k?1?)?ikj?0k?1e(k?1)?e(k?2) （3-5）e(j)?TdkT
用式（3-4）减式（3-5），可得增量式PID控制算法
?u(k)?kp(e(k)?e(k?1))?kie(k)T?kde(k)?2e(k?1)?e(k?2) （3-6）
T式（3-6）进一步可改写为：
0e(k)? ?u(k)?a1a(e?k1?)2a(e? k 2 ) （3-7）
式中，a0?kp(1?
Td2TdTTda?kp，， a?kp(1?)?)21TiTiTiT用增量式PID控制算法有以下优点：
（1）增量算法不需要累加，控制量增量的确定仅与最近几次误差采样值有关； （2）增量式算法得出的是控制量的增量，误动作影响小；
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（3）便于编程序实现 。
3.2 基于BP神经网络的PID整定原理
PID控制要取得好的控制效果，就必须通过调整好比例、积分和微分三种控制作用,在形成控制量中相互配合又相互制约的关系。神经网络具有逼近任意非线性函数的能力，而且结构和学习算法简单明确。可以通过对系统性能的学习来实现具有最佳组合的PID控制。采用BP神经网络，可以建立参数kp、ki、kd自学习的神经PID控制。 器由两部分组成：
（1）经典的PID控制器：直接对被控对象进行闭环控制，仍然是靠改变三个参数kp、ki、
kd来获得满意的控制效果。
（2）神经网络：根据系统的运行状态，调节PID控制器的参数，以其达到某种性能指标的最优化。采用如图3-1的系统结构，即使输出层神经元的输出状态对应于PID控制器的三个可调参数kp、ki、kd，通过神经网络的自身学习、加权系数调整，从而使其稳定状态对应于某种最优控制规律下的PID的控制器各个参数。 采用基于BP神经网络的PID控制的系统结构如下图所示：
BP神经网络 r kp ki kd u y + PID控制器 被控对象 - e
图3-1 基于BP神经网络的PID控制结构图
上图中的BP神经网络选如图3-2的形式，采用三层结构：一个输入层，一个隐含层，一个输出层，j表示输入层节点，i表示隐层节点，l表示输出层节点。输入层有m个输入节点，隐含层有q个隐含节点，输出层有3个输出节点。输入节点对应所选的系统运行状态量，如系统不同时刻的输入量和输出量，偏差量等。输出节点分别对应PID控制器的三个参数kp、ki、kd，由于kp、ki、kd不能为负，所以输出层神经元活化函数取非负的Sigmoid函数。
i
x1 x2
j l kp ki 18 x 3 kd
输入节点 隐层节点 输出层节点 图3-2 BP神经网络结构图
由图可见，此处BP神经网络的输入层输出为
o(1)j?x(j) j=1,2,3?m (3-8)
隐层输入为：
(2)m neti(k)??w(2)ijoj(1) (3-9)
j?o隐层输出为：
o(2)i(k)?g(net(2)i(k)) i=1,2?q (3-10)
式中，w(2)ij为输入层到隐含层加权系数，上标（1）、（2）、（入层、隐含层、输出层，f(x)为正负对称的Sigmoid函数，即
g?x??tanh?x??ex?e?xex?e?x。
最后网络输出层三个节点的输入为 q net(3)(k)??w(3)(2)llioi?0i(k) 最后的输出层的三个输出为 ：
o(3)l(k)?f(net(3)l(k)) l=1,2,3 即
o(3)1(k)?kp?(3)k)?k? o2(i? o(3)?kd?3(k)?式中，w(3)li为隐层到输出层加权系数，输出层神经元活化函数为
f(x)?12?1?tanh?x???exex?e?x
取性能指标函数
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3）分别代表输
（3-11）（3-12）（3-13）
1 E(k)?(r(k)?y(k))2 （3-14）
2用梯度下降法修正网络的权系数，并附加一使搜索快速收敛全局极小的惯性项，则有：
(3) ?wli(k)????E(k)(3)（3-15） ???w(k?1) li(3)?wli?为学习率，?为惯性系数。其中：
?E(k)?E(k)?y(k)?u(k)?ol(3)(k)?netl(3)(k) (3)? （3-16） ..(3)..(3)(3)?wli?y(k)?u(k)?ol(k)?netl(k)?wli这里需要用到的变量?y(k)/?u(k)，由于模型可以未知，所以?y(k)/?u(k)未知，但是可以测出u?k?,y?k?的相对变化量，即：
?y??uy?k??y?k?1?u?k??u?k?1? （3-17）
也可以近似用符号函数：
sgn??y?k??y?k?1?? （3-18）
?u?k??u?k?1?????取代，由此带来计算上的不精确可以通过调整学习速率?来补偿。这样做一方面可以简化运算，另一方面避免了当u?k?,u?k?1?很接近时导致式（3-16）趋于无穷。这种替代在算法上是可以的，因为?y(k)/?u(k)是式（3-16）中的一个乘积因子，他的符号的正负决定着权值变化的方向，而数值变化的大小只影响权值变化的速度，但是权值变化的速度可以通过学习步长加以调节。
由式：
u(k)?u(k?1)?o1??(e(k)?e(k?1))?o2??e(k)?o3??(e(k)?2e(k?1)?e(k?2))
333可得：
?u(k)?e(k)?e(k?1)?o1(3)(k)???? ?e(k)? （3-19）
???e(k)?2e(k?1)?e(k?2)??
?u(k)(3)?o2(k)?u(k)(3)?o3(k)这样，可得BP神经网络输出层权计算公式为
(3)?wli(k)??e(k)?y(k)?u(k)'(3)(2)(3)f(net(k))o(k)???w(k?1) lili(3)?u(k)?ol(k)20
把（3-18）式代入后得：
?y?k??y?k?1???u(k)'(3)(3)(2)(3)?wli(k)?e(k)sgn??f(net(k))o(k)???w(k?1) ?lili?u?k??u?k?1???o(3)(k)l?? 可令?l?3??e(k)ssgn?? l?1,2,3 （3-20）
?y?k??y?k?1???u(k)'(3)f(net(k))，则上式可写为： ?l(3)??u?k??u?k?1???ol(k)3(3)(3) ?wli (k)???l??oi(2)(k)???wli(k?1) （3-21）
2?u(k)由式（3-15）可确定，?y(k)由符号函数代替，f'(net(3)(k))由'f(x)?l?u(k)?ol(3)(k)ex?e?x??2可
得。
同理可得隐含层权计算公式为
(3)(2) ?w(k)??g(net(k))??l(3)wli(k)o(1)j(k)???wli(k?1)
(2)ij'(2)il?13 i=1,2,?, q （3-22）
令 ?(2)i(3)?gf(net(k))??l(3)wli(k) 则：
'(2)il?13(2)(2) ?wij (k)???i(2)o(1)) i=1,2,…, q （3-23）j(k)???wli(k?13.3 基于BP网络的PID控制算法流程
基于BP网络的PID控制器控制算法归纳如下：
（1）确定BP神经网络结构，即确定输入层节点及数目m、隐含层数目q，并给出各层权系数的初值wij?2??0?和wli?3??0?、选定学习率?、惯性系数?； （2）给定输入r和期望输出y；
（3）计算神经网络各层神经元的输入、输出，神经网络输出层的输出即为PID控制器的三个可调参数kp、ki、kd；
（4）求目标值与实际值的偏差e,看是否满足要求；
(3)(2)（5）如不满足要求，进行神经网络学习，在线调整加权系数wij(k)，实现PID(k)和wli控制参数的自适应调整； （6）置k =k+1，返回到第一步.
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