g(x)的函数f?g(x)?1af?g(x)?g?(x)dx?,即,然后取变换:令u?g(x).一般情况下可
以考虑的积分类型有:
??f(ax?b)dx?xf(axx2?1f(ax?b)d(ax?b),a?0;f(axx2
?b)dx?x?2ax?b)d(ax2?b),a?0;????f(e)edx?1f(lnx)dx???f(e)d(e);
等等
?xf(lnx)d(lnx);f(sinx)cosxdx?f(tanx)secf(arctanx)2?f(sinx)d(sinx);xdx?12?f(tanx)d(tanx);1?xdx??f(arctanx)d(arctanx)(2) 第二类换元积分法
其包含的主要类型有三角代换与倒代换.一般情况下可以考虑的积分类型有:
???f(a?x)dx,f(x?a)dx,f(x?a)dx,222222令x?asint; 令x?atant; 令x?asect.
2若被积函数中含有无理函数ax?bx?c的形式,则可先配方,然后选择适当的三
1x?t常可消去被积函数分母中的积分变量因子. 角代换.另外,倒代换
(3) 分部积分法
分部积分法主要用于被积函数为两类不同函数相乘的情形,常见的有以下的积分类型:若计算不定积分?F(x)dx,而其中的被积函数F(x)
f?x?当F(x)=多项式?正弦(余弦)函数时,可取当F(x)=多项式?指数函数时,可取
f?x?=多项式;
=多项式;
当F(x)=多项式?对数函数时,可取f(x)=对数函数;
当F(x)=多项式?反三角函数时,可取f(x)=反三角函数. 2 可积函数类
(1) 有理函数的积分
有理函数积分的主要步骤在于将被积函数分解为部分分式.不过对于具体的有理函数积分,通常可用”拆”,”凑”或”加一项再减一项”的方法. (2) 三角函数有理式的积分
t?tanx2 万能代换的积分?可能会导致复杂的有理函数的积分.故对于三角函数有理式,有时也采用下列变换:
R(sinx,cosx)dx 当R(sinx,?cosx)??R(sinx,cosx)时,可令t?sinx; 当R(?sinx,cosx)??R(sinx,cosx)时,可令t?cosx; 当R(?sinx,?cosx)?R(sinx,cosx)时,可令t?tanx. 二、 定积分
关于定积分的换元积分法.
变量代换必须要满足定理的条件.如对于定积分
x?1t?111?x1?1dx2,作代换
x?1t23,由于
在t?0处不连续,故换元不成立;再如对于定积分??1,作代换t?x,因为
此代换不是单值的,故换元也不成立.在利用换元积分法计算定积分时,有一定的技巧,如下例.
?dx 例 : 计算定积分 解 : 原式=
?4?cosx42?1?e?xdx.
?40?0?cosx?41?e0?x2dx??cosx1?e??x2dx,利用变量代换x??t,
2t?0?cosx?421?e?xdx?2??xcost1?et2d(?t)?4?040cost1?e2dt.
?8?14.
?原式=
?40(cosx1?e?cosx1?e2?)dx??x?4cosxdx?第7章 第7章 定积分的应用与广义积分
内容提要
一、定积分应用主要掌握几何应用与物理应用及部分经济应用。 1．1．几何应用
（1） （1） 平面图形的面积
a) a) 直角坐标系下图形的面积 a y?f?x? abo A?x?baf?x?dx
yy?f?x?y?g?x?oabxA???f?x??g?x??dxab
ydx???y?cox???y?xA?????y????y??dycd(ii)极坐标系下平面图形的面积 ???
???(?)o???x
A?1?2???2???d?
???2(?)???1(?)（2） （2） ???平面曲线的弧长 oA?12?????????????d?2221 x直角坐标曲线
y?y(x),a?x?b,S???ba1?y??x?dx222
?x?x(t),??t??,S??y?y(t)参数式曲线???x?(t)?y?(t)dt极坐标曲线(3) (3) 立体体积
(i) 平行截面面积为已知的立体体积
???(?),?????,S?????2??????2???d?
A?x?oaxbxV??baA(x)dx
(ii) 旋转体体积公式(以绕x轴旋转所得的旋转体为例, 类似可得绕y轴旋转所得的旋转体体积公式)
y y?f(x)o abx
Vx???baf(x)dxb2Vx?2??
axf(x)dx
yy?f?x?y?g?x?oabxVx???ba(f(x)?g(x))dx22f(x)?g(x)?02．2．物理应用
（1） （1） 变力所做的功
物体在力
Fx?
作用下沿直线由a到b力做功
W??baF(x)dx（2） （2） 液体的侧压力
由巴斯卡原理知，在液面下深度为h处的表面积为A的面上所受到的液体压力为F??ghA,其中?为液体的密度。 3．3．经济应用
在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围的增量可用定积分。
例 总成本 总收益
C（Q）?
?Q0C?（t）dt?Q0
R?Q?与边际收益
R??Q?的关系
二、广义积分
R（Q）??Q0R?（t）dt定义1：设函数f?x?在[a,??)上连续，称
???af?x?dx＝
b???lim?f?x?dxab