第八章 无穷级数
一、基本要求：
1.理介常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件； 2.掌握几何级数,P—级数的敛散性；
3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法； 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法；
5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系； 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；
7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法；
8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数；掌握e,sinx,?0,??,ln?1?x?及?1?x?的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些
x?简单的函数展成幂级数；
10.了解幂级数在近似计算中的简单应用；
11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理；
12.会将定义在???,??,???,??及?0,??,?0,??上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。
二、主要内容： 1.
内容提要：
1.数项级数的定义：
（1）设有数列?un?,n?1,2,3,?,则u1?u2???（2）u1?u2???un??un?1?n称作以u1为首项,以un为近项的无穷级数。
?uk?1nk?sn称作无穷级数?un的前n 项的部分和。
n?1?（3）若limsn?s,则称级数
n???un?1?n收敛于s,s称为级数
?un?1?n的和,即
?un?1?n?s；若limsn不存在,则称级数?un发散,
n???n?1即
?un?1?n的和不存在。
（4）一般项数列?un?与部分和数列?sn?关系：un?sn?sn?1
2.数项级数的性质： （1）级数
?u1?n收敛的必要条件是：limun?0,当limun?0或limun不存在时,
n??n??n???un?1?n必发散。
（2）设k是非零常数,则级数（3）
?ku
n?1
??
n
与
?un?1?n的敛散性相同。
?un?1??n中增加、改变或去掉有限项后,敛散性不变。
（4）设
?un?1n?s,?vn??,则??an?bn???an??bn?s??
n?1n?1n?1n?1???（5）收敛级数任意加括号后所得级数都收敛,且其和不变；发散级数去括号后仍发散。
3.正项级数收敛判别法：
（1）比较判别法： 设当n?v时,有0?un?vn,若
?v1?n收敛,则
?u1??n收敛；若
?u1?n发散,则
?v1?n发散。
?un比较判别法的极限形式 若lim??(0?????),且?vn收敛,则?un收敛；
n??v11n??unun 若lim???0或lim???,且?vn,则?un发散。
n??vn??v11nn敛散性已知的常用级数
?aqn?0??n 当q?1时收敛,q?1时发散；
1 当p?1时收敛,p?1时发散； ?pnn?1?1p?1时收敛,p?1时发散。 ?p 当
nlnnn?2????un?1?? 则当??1时,?un收敛；当??1时,?un发散,此时limun?0； （2）比值判别法： 若limn??n??u11n 则当??1时,此判别法不能判定。
（3）根值判别法： 若limnun?? 则当??1时,
n???u1?n收敛；当??1时,
?u1?n发散,此时limun?0；
n?? 则当??1时,此判别法不能判定。 （4）积分判别法： 设函数f?x?在?1,???单调下降且非负,则级数（5）正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列?sn?有界。
?f?n?与反常积分?n?1???1f?x?dx同敛散。
4.交错级数莱布尼兹判别法： 若un?1?un,n?1,2,?且limun?0,则
n?????1?n?1?n?1un收敛,且其和小于首项u1。
5.绝对收敛与条件收敛： 若级数
?u1?1?n收敛,则级数收敛,而级数
?u1?1?n也收敛,并称此级数发散,则称此级数
?u1n?n为绝对收敛；
若级数
6.函数项级数的概念：
?un?un?u1?条件收敛。
（1）设u1?x?,u2?x?,?un?x?,?为定义在?a,b?内的函数序列,则
定义在?a,b?内的函数项级数。 （2）设xn??a,b?,若级数
??u?x??u?x??u?x????u?x??? 称为
n12nn?1n??u?x?收敛,则称x为函数项级数?u?x?的收敛点,收敛点的全体称为其收敛域；若级
n0?1?0n?1数
?u?x?发散,则称x为函数项级数?u?x?的发散点,发散点的全体称为其发散域。
n0?0nn?1n?1（3）设sn?x?为函数项级数
和函数。
7.幂级数的概念： （1）称
???u?x?的前n项和序列,若lims?x??s?x?,x??a,b?存在,则称s?x?为?u?x?的
nn?1n??n??nn?1?axnn?0??n为x的幂级数（或x0?0处的幂级数）,称
?a?x?x?n0n?0?n为x?x0的幂级数（或在x0处的幂级数）。
（2）阿贝尔定理
若级数若级数
?axnn?0?n在x?x0?x0?0?处收敛,则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛。 在x?x0处发散,则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数发散。
?axnn?0?n??annn（3）幂级数?anx,则R?lim,R称为?anx的收敛半径,?anx在x?R绝对收敛；在x?R发散。
n??an?0n?0n?0n?1n??apnpnn幂级数?anx（其中p为给定自然数）,则R?plim为?anx的收敛半径,?anx在x?R绝对收敛；
n??an?0n?0n?0n?1pn?在x?R发散。其中R?0时,收敛域仅为一点x?0；R???时,收敛域为???,???；0?R???时,收敛域为一有限区间。
8. 幂级数在收敛区间??R,R?性质： （1）设
??axnn?0nn?n?A?x?,则和函数A?x?在??R,R?内连续；
（2）
?axn?0?A?x?在??R,R?内可逐项积分,逐项求导,且得到的新的级数收敛半径不变。
x?ann?1A?x?dx??x A'?x???nanxn?1 x???R,R?
n?0n?1n?1?n?（端点处敛散性可能改变）。
??0（3）设
?anx?A?x?, x?R ,??x?处处连续,则?an????x????A????x???,x???x??R。
nn?0n?0??（4）设
?axnn?0??n?A?x?,x?R1；?bnxn?B?x?,x?R2；则在x?R?min?R1,R2?上有；
n?0?n?n???an?0n?bx?ax?bx?A?x??B?x?； ???nnnnn?0n?0????n??n? ??anx???bnx????a0bn?a1bn?1???anb0?xn?A?x?B?x?。 ?n?0??n?0?n?0
9.函数的幂级数展开：
（1）函数的泰勒展开式 设f?x?在x?x0?R具有任意阶导数,且
f?n?1????n?1x?x0??0,??x0???x?x0?,0???1 lim?n???n?1?！ 则 f?x???n?0?f?n??x0?n!?x?x0?,x?x0?R
n
（2）函数的麦克劳林展开式 设f?x?在x?R具有任意阶导数,且
f?n?1????n?1x?0,???x,0???1 limn???n?1?! 则 f?x??
（3）常用函数的麦克劳林展开式
?121n11?e?1?x?x???x????xn,x???2!n!n?0n!x???1?x2n?1,x???131n2n?12?sinx?x?x?????1?x????
3!?2n?1?!n?0?2n?1?!???1?x2n,x???121n2n3?cosx?1?x?????1?x????
2!?2n?!n?0?2n?!nn?n?0?f?n?n!?0?xn,x?R
?12n4??1?x?x???x????xn,x?1 1?xn?0???1?xn?1,x?1 12131n?1n5?ln?1?x??x?x?x?????1?x????23n?1n?0n?1????1?2????1?????n?1?n?6??1?x??1??x?x???x,x?1
2!n!n
10.傅立叶级数的概念：
（1）函数在???,??上的傅立叶级数
设?的周期函数f?x?在???,??上满足狄利克莱条件：
1?除有限个第一类间断点外处处连续；
1?n?x1?n?x2?仅有有限个极值点，dx,?n?0,1,2??；bn??f?x?sindx,?n?0,1,2??则有以an??f?x?cos?????l?la0??n?xn?x?为系数所组成的三角级数，???ancos?bnsin?称为 函数f?x?的傅立叶级数。
2n?1????
（2）狄利克莱收敛定理（傅立叶级数收敛的充分条件）：设f?x?在???,??满足狄利克莱条件，则f?x?的傅立叶级数
在???,??上收敛，其和函数为s?x?，且
??f?x?,x为f?x?的连续点；??1 s?x?????f?x0?0??f?x0?0???,x0为f?x?的间断点；2??1f????0??f???0??,x???。?????2（3）当f?x?在???,??上是偶函数时，则f?x?在???,??上的傅立叶级数是余弦级数
a0?n?x??ancos2n?1? n?0,1,2?
?2n?x其中an??f?x?cosdx0?? 当f?x?在???,??上是奇函数时，则f?x?在???,??上的傅立叶级数是正弦级数
n?xl n?1 n?0,1,2?
?2n?x其中bn??f?x?sindx?0?（4）仅定义在?0,??上的函数f?x?可以奇延拓后展成正弦级数；也可以偶函数延拓后展成余弦级数。
?bnsin?
三、重点与难点：
（1）级数收敛，发散，条件收敛，绝对收敛的判定；
（2）幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域以及和函数的求法； （3）将函数展开成幂级数（包括写出收敛域）；
（4）求函数的傅立叶系数与傅立叶级数，写出傅立叶级数的和； （5）求某些数项级数的和。