第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例
【2013年高考会这样考】
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【复习指导】
1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．
2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．
基础梳理
1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
一个步骤
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的
关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 两种情形
解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．
252A．502 m B．503 m C．252 m D.2 m 解析 由正弦定理得
ABAC
＝sin B，又∵B＝30°
sin∠ACB
250×2
AC·sin∠ACB
∴AB＝＝1＝502(m)．
sin B
2答案 A
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )． A．北偏东15° C．北偏东10°
解析 如图．
B．北偏西15° D．北偏西10°
答案 B
4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A．5海里 C．10海里
B．53海里 D．103海里
解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，
在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)， 5
于是这艘船的速度是0.5＝10(海里/时)． 答案 C
5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠
ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．
BCAB解析 由正弦定理，知sin 60°＝.解得BC＝56(海里)．
sin?180°－60°－75°?答案 56
考向一 测量距离问题
【例1】?如图所示，
为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长． [审题视点] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.
解 在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°
asin 105°3＋1
在△BCD中，由正弦定理可得BC＝sin 45°＝2a.
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以2求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°＝2a.
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一
个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．
【训练1】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
解 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. 又∵∠ABC＝15° 在△ABC中，
ABAC
＝，
sin∠BCAsin∠ABC
ACsin 60°32＋6
所以AB＝sin 15°＝20(km)， 同理，BD＝
32＋6
20(km)．
32＋6
故B、D的距离为20 km.
考向二 测量高度问题
【例2】?如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
[审题视点] 过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，在△AEC中建立关系． 解
如图，设CD＝x m， 则AE＝x－20 m，