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2015高三数学知识点汇总
二、函数
定 义 图 象 性 质 方 程 型如： y?c?a x?b一元一次函数一元二次函数反比例函数指数函数对数函数三角函数型如： y?x?k(k?0) x 对 应 映 射 一一映射 常用函数 方 程 不等式 反函数 函数的三要素 函 数 性 质 图 象 图象变换 图 象定义域值 域解反解析解析式式 定义域值 域单调性奇性周性对偶期称性性性关于y=x对称 最 值 平移变换伸缩变换翻转变换一、映射与函数：
（1）映射的概念： A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 一
个元素，在集合B中都有 的元素与它对应；记作： ；
（2）一一映射：A,B是两个集合，f:A?B是集合A到集合B的映射，如果在这个映
射下，对于集合A中的 ；在集合B中有 ；而且B中 ；
（3）函数的概念：如果A,B都是 ，那么A到B的映射f:A?B就叫做A到B的函数，记作 ；
如：若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有
个；A到B的函数有 个，若A?{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。
函数y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。
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相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：如：已知f(x?11)?x2?2，求：f(x)； xx②换元法：如：已知f(3x?1)?4x?3，求f(x)；
③待定系数法：如：已知f{f[f(x)]}?1?2x，求一次函数f(x)； ④赋值法：如：已知2f(x)?f()?x?1(x?0)，求f(x)；
（2）函数定义域的求法：
①y?1xf(x)，则 ； ②y?2nf(x)(n?N*)则 ； g(x)③y?[f(x)]0，则 ； ④如：y?logf(x)g(x)，则 ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数y?f(x)的定义域是[0,1]，求?(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则
S?f(r)? ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，
ax?b,x?(m,n)； cx?d③判别式法：转化一个关于x的一元二次方程（其中y为参数），利用存在x使得方程
得出y的取值范围；常用来解，型如：y?ax2?bx?c成立，找方程有解的充要条件；适用题型：y?(a,b不全为0)；
dx2?ex?f有两种情况：（1）x无具体范围：直接套用??0；（2）x有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；
注意：（1）若得到的一元二次方程，二次项系数是含有y的多项式，此时要分类讨论。
（2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令x取不连续点的值，求
出y，再由这个y求出与它对应的x，如果还有定义域内有定义的x'与它对应，则此y为值域中的一个值，否则，此y不在值域中。
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型
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y?ax?bx?c；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：y?x?k(k?0)，利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：①y?a?bx(a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])（2种方法）； a?bxx2?x?3x2?x?3,x?(??,0),x?(??,0)②y?（2种方法）；③y?（2种方法）；xx?1x2?x?3x2?x?3,x?(??,0)；⑤y?,x?(??,0)（2种方法）④y?2； 2x?x?1x4?x2?4⑥y??2x?34?x；⑦y??2x?34?x；⑧y?；
x2三、函数的性质：
（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数f(x)，如果对于 定义域内任意的x1,x2；
若 ，都有 ，则称f(x)为增函数； 都有 ，则称f(x)为减函数；
注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于x的
多项式，还可以通过求导证明：当 时为增函数，当 时为减函数。
（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。 （2）函数的奇偶性：对于函数f(x)， 如果定义域内任意的x1， 都有 ，则
称f(x)为奇函数； 都有 ，则称f(x)为偶函数； 奇函数的图象关于 ，偶函数的图象关于 ； 注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域 ； （2）若函数y?f(x)，x?D是奇函数，且0?D，则 ；
如：判断y?(x?1)1?x的奇偶性。 1?x关于函数的单调性和奇偶性的的结论：
1、若奇函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），则f(x)在区间[?b,?a]上是单调
递 ；
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2、若偶函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），则f(x)在区间[?b,?a]上是单调递 ；
3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 ；这样的函数有
个。 4、任意定义在R上的函数f(x)都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：
f(x)?g(x)?h(x)；其中g(x)? 是偶函数，h(x)? 是奇函
数；
（3）函数对称性的结论：
1、设函数y?f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a?x)?f(b?x)，则函数
y?f(x) 的图象关于直线 对称；
如：由f(1?x)?f(1?x)成立，则f(x)关于 对称； 注意：y?f(a?x)与y?f(b?x)关于 对称；
2、定义在R上的函数y?f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)?2b?f(2a?x)，则y?f(x)关于点(a,b)成中心对称，
如：f(x)??f(?x)?f(x)?2?0?f(2?0?x)，则f(x)关于原点对称；
（4）函数的周期性：对于函数f(x)，如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，
都有 则函数y?f(x)为周期函数， 叫周期；
关于函数周期性的结论：
①定义在R上的函数y?f(x)对定义域内任意x，都满足条件
f(x)?f(x?a)?f(x?b)成立，则y?f(x)是以T? 为周期的周期函
数；
②若函数y?f(x)既关于直线x?a对称，又关于x?b(a?b)对称，则y?f(x)一定是周期函数，且T? 是它的一个周期；
③若y?f(x)既关于直线x?a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，则y?f(x)一定是周期函数，且T? 是它的一个周期。 四、图形变换： （1）平移变换：
①形如：y?f(x?a)：把函数y?f(x)的图象沿 方向向 或 平移
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个单位，就得到y?f(x?a)的图象。
②形如：y?f(x)?a：把函数y?f(x)的图象沿 方向向 或 平移
个单位，就得到y?f(x)?a的图象。
（2）对称翻转变换：
①形如：y?f(?x)：其函数图象与函数y?f(x)的图象关于 对称。 ②形如：y??f(x)：其函数图象与函数y?f(x)的图象关于 对称。 ③形如：y?f?1(x)：其函数图象与函数y?f(x)的图象关于 对称。
④形如：y??f(?x)：其函数图象与函数y?f(x)的图象关于 对称。 ⑤形如y?f(|x|)：这是偶函数。其图象是关于y轴对称的，所以只要
先 ；再 ；就得到了y?f(|x|)的图象。
⑥形如：
y?|f(x)|：将函数y?f(x)的图象
；就得到函数y?|f(x)|的图象。
（3）伸缩变换：
①形如：y?f(?x)(??0)：将函数y?f(x)的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（??1）
或伸长（0???1）到原来的
1?倍得到。
②形如：y?Af(x)(A?0)：将函数y?f(x)的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（A?1）
或压缩（0?A?1）到原来的A倍得到。
如：y?f(x)的图象如图，作出下列函数图象：（1）
y y=f(x) y?f(?x)；（2）y??f(x)；（3）y?f(|x|)；
（4）y?|f(x)|；（5）y?f(2x)； （6）y?f(x?1)；（7）y?f(x)?1； （8）y??f(?x)；（9）y?f五、反函数：
（1）定义：设y?f(x)表示y是自变量x的函数，它的定义域为A，值域为C，由式子
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?1O (2,0) (0,-1) x (x)。