解得比值为
R?R3n1． = 4n2R2?R1R I
14.13 半径为R的无限长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不均匀，电流密度δ = kr，求：导体内磁感应强度？
解：在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，其面积为dS = 2πrdr， 电流元为dI = δdS = 2πkr2dr，
从0到r积分得薄环包围的电流强度为Ir = 2πkr3/3；
从0到R积分得全部电流强度I = 2πkR3/3，因此Ir/I = r3/R3． 根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度：
图14.13
B??0Ir?I?03r2． 2?r2?Rω o a
14.14 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B = ？
解：圆盘面积为S = πa2，面电荷密度为ζ = Q/S = Q/πa2．在圆盘上取一
图14.14 半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2πrdr，所带的电量为dq = ζdS
= 2πζrdr．薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω，
形成的电流元为dI = dq/T = ωζrdr．薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为dB = μ0dI/2r = μ0ωζdr/2，从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为B = μ0ωζa/2 = μ0ωQ/2πa．如果圆盘带正电，则磁场方向向上．
dx I2 I1 14.15 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b =
l x c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量．
解：电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为
oB??0I12?(a?b/2?x)??0I22?(c?b/2?x)a b 图14.15 c ．
在矩形中取一面积元dS = ldx，通过面积元的磁通量为dΦ = BdS = Bldx， 通过线圈的磁通量为
?0lb/2I1I2??(?)dx ?2??b/2a?b/2?xc?b/2?x?la?bc?0(I1ln?I1ln)=2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)． 2?ac?b
14.16 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？ 解：电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克．
电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力， 即：f = evB = mv2/R，所以 B = mv/eR． 电子轨道所包围的面积为 S = πR2， 磁通量为 Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)．
o R v 图14.16
B 14.17 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流I从一导体流
R2 入，从另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示．求：
l （1）磁感应强度B的分布；
（2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？
解：（1）导体圆柱的面积为 S = πR12，面电流密度为δ = I/S = I/πR12．在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为Sr = πr2，包围的电流是Ir = δSr = Ir2/R12．
根据安培环路定理B?dl??0LR1 dr I I 图14.17 ??I??0rI,
由于B与环路方向相同，积分得2πrB = μ0Ir，所以磁感应强度为B = μ0Ir/2πR12，(0 < r < R1)． 在两导体之间作一半径为r的圆形环中，根据安培环中定理可得B = μ0I/2πr，(R1 < r < R2)．
在圆筒之外作一半径为r的圆形环中，由于圆柱和圆筒通过的电流相反，所包围的电流为零，根据安培环中定理可得B = 0，(r > R2)． （2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为dS = ldr = dr，方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为dΦ = BdS = Bdr，
?I总磁通量为??02?R2?0IR21dr?ln． ?r2?R1R1R O *
14.18 一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R – a，导体截有均匀分布的电流I．
（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；
（2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？
（1）证：导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为
I． ???(R2?a2)长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．
如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为 S = πr2，包围的电流为ΣI = δS = πr2δ，
根据安培环路定理可得方程2πrBr = μ0ΣI，磁感应强度为 Br?b a O图14.18 Br R B θ P r φ r` Br` Ob O`a ?0?I?0??r，方向与矢径r垂直． 2?r2?0?2 r`，方向与矢径r`垂直．
同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为Br`?设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为
??B2?Br2?Br2`?2BrBr`cos?，B2?(0)2(r2?r`2?2rr`cos?)．
2根据余弦定理，如图可知：b2?r2?r`2?2rr`cos?， 由于φ = π - θ，所以B??0?2b，由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．
将δ和b代入公式得磁感应强度大小为B?，可以证明磁场的方向向上．
2?(R?a)（2）解：长螺线管内部的场为B =μ0nI，与上式联立得
1a??R，这就是a所满足的条件．
2?n
Y b 14.19 在XOY平面内有一载流线圈abcda，通有电流I = 20A，bc半径R = B -2I 20cm，电流方向如图所示．线圈处于磁感应强度B = 8.0×10T的均强磁R a α θ 场中，B沿着X轴正方向．求：直线段ab和cd以及圆弧段bc和da在外
c oX 磁场中所受安培力的大小和方向．
d 解：根据右手螺旋法则，bc弧和cd边受力方向垂直纸面向外，da弧和图14.19 ab边受力方向垂直纸面向里．由于对称的关系，ab边和cd边所受安培力的大小是相同的，bc弧和da弧所受安培力的大小也是相同的．
ab边与磁场方向的夹角是α = 45°，长度为l = R/sinα，所受安培力为 Fab = |Il×B| = IlBsinα= IRB = 0.32(N) = Fcd．
在圆弧上取一电流元Idl，其矢径R与X轴方向的夹角为θ，所受力的大小为 dFbc = |Idl×B| = IdlBsinθ，
由于线元为dl = Rdθ，所以 dFbc = IRBsinθdθ，因此安培力为
?0IFbc?IRB??/20sin?d??IRB(?cos?)?/20= IRB = 0.32(N) = Fda．
14.20 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载y I1 有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．
ob A I2 α C x 解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感a B 应强度大小为B = μ0I1/2πb，作用力大小为FAB = I2aB = μ0I1I2a/2πb，方图14.20 向向左．
三角形的三个内角α = 60°，在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为 dF = I2dlB， 两个分量分别为 dFx = dFcosα，dFy = dFsinα，
与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．
由于 dl = dr/sinα，所以 dFx = I2drBcotα，积分得
?0I1I2cot?b?asin??0I1I23b?a3/2?0I1I2cot?b?asin?1． ?ln?lnFx?dr?2?b6?b2?rb作用在三角形线圈上的力的大小为
F = FAB – 2Fx??0I1I2a23b?a3/2(?ln)，方向向左． 2?b3bI1 I2 r R θ
14.21 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．
解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．
o 图14.21 电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，其中dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，而r = Rcosθ， 所以向右的分别为dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，积分得
?0I1I2?/2?IIFx?d?d??012，
2?40电流I2所受的合力大小为F = 4Fx = μ0I1I2，方向向右．
14.22 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？
B θ o 解：线圈面积为 S = 2Rl，磁矩大小为pm = NIS，方向与B成θ角，所以磁力θ 矩大小为Mm = |pm×B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ，方向垂直纸面向外．重力大小G 图14.22
为 G = mg，
力臂为L = Rsinθ，重力矩为 Mg = GL = mgRsinθ，方向垂直纸面向里．圆柱不滚动时，两力矩平衡，即NI2RlBsinθ = mgRsinθ，解得电流强度为I = mg/2NlB = 5(A)．
14.23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求： ω B （1）O点的磁感应强度B；
b （2）磁矩pm；
（3）若a>>b，求B0与pm．
解：（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元o dr，所带的电量为dq = λdr，形成的圆电流元为dI = dq/T = ωλdr/2π， 在圆心O点产生的磁感应强度为dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr， 整个直线在O点产生磁感应强度为
a A 图15.23 ?0??a?b1?0??a?b，如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外． B?dr?ln?4?ar4?a（2）圆电流元包含的面积为S = πr2，形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2，积分得
pm???a?b2?ar2dr???6[(a?b)3?a3]．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
B??0?????b???bb． ln(1?)?0(?...)， 所以B?04?a4?a4?a??a3b3??a3bb2b3??a2b． pm?[(1?)?1]?[3?3()?()]?6a6aaa2
14.24 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：
（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？
（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．
解：（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为S = πR2，磁矩为pm = NIS = πR2NI，磁力矩为M = pmBsinθ．
当θ = π/2时，磁力矩最大
Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)．
（2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得sinθ = 0.5，θ = 30°或150°．
*14.25 在半径为R，通以电流I2的圆电流的圆周上，有一无限长通以电
R 流I1的直导线（I1，I2相互绝缘，且I1与圆电流I2所在平面垂直），如图
O 所示，求I2所受的力矩．若I1置于圆电流圆心处（仍垂直），I2所受力矩
I1 I2 又如何？
解：在x轴上方的圆周上取一电流元I2dl，其大小为I2dl = I2Rdθ， 所受的安培力为 dF = I2dl×B， 其大小为 dF = |I2dl×B| = I2RdθBsinφ，
其中φ = θ/2，B是电流I1在电流元I2dl处产生的磁感应强度
图15.25 φ B I2dl I1 r R O φ θ I2 x ?I?0I1， B?01?2?r4?Rcos?因此安培力的大小可化为
dF??0I1I2?tan?d，力的方向垂直纸面向里． 4?2如果在x轴下方取一电流元，其受力方向垂直纸面向外，因此，圆周所受的安培力使其
绕x轴旋转．
?0I1I2R2?sind? 2?22??IIR?IIR1电流所受的力矩为M?012?(1?cos?)d??012．
22?20电流元所受的力矩为dM?dF(Rsin?)? 如果电流I1置于圆电流圆心处，那么I2就与I1产生的磁力线重合，
所受的力为零，力矩也为零．
14.26 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求： （1）电子的速度为多少？ （2）B的方向如何？
解：电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为v1 = vcosθ，垂直速度为v2 = vsinθ．
由 R = mv2/eB，得 v2 = eBR/m． 由 h = v1T，得 v1 = h/T = heB/2πm，
22因此速度为v?v1?v2?B R O I1 I2 R h 图15.26 eBh6
s-1)； R2?()2= 7.75×10(m·
m2?由 tan??v22?R= 2.51，得 θ = 68.3° = 68°18′． ?v1h
Y B 14.27 一银质条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B = 1.5T，如图所示．设电流强度I = 200A，自由电子数n = 7.4×1028
o 个·m-3，试求：
y1 （1）电子的漂移速度；
Z 图15.27 （2）霍尔电压为多少？
X z1 I 解：（1）电流密度为 δ = ρv，其中电荷的体密度为ρ = ne.
电流通过的横截面为S = y1z1，电流强度为I =δS = neSv，得电子的漂移速度为
v?I1=8.45×10-4(m·s-1)． ?28?19neS7.4?10?1.6?10?0.001?0.02（2）霍尔系数为
RH?11= 8.44×10-11(m3·C-1)， ?28?19ne7.4?10?1.6?10霍尔电压为
IB200?1.5-5?11UH?RHy?8.44?1010.001= 2.53×10(V)．