§6.2 等差数列及其前n项和
考纲解读
考点 内容解读 要求 高考示例 2017课标全国Ⅰ,4; 2016浙江,6; 2016天津,18; 2015北京,6 2017课标全国Ⅲ,9; 2016课标全国Ⅰ,3; 2015浙江,3 常考题型 预测热度 1.等差数列及其性①理解等差数列的概念; 质 ②掌握等差数列的通项公式与前n项和公式; ③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题; 2.等差数列 前n项和公式 ④了解等差数列与一次函数的关系 理解 选择题 填空题 ★★★ 掌握 选择题 填空题 ★★★
分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.
五年高考
考点一 等差数列及其性质
1.(2017课标全国Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C
2.(2016浙江,6,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且
*
|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N,
*
|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N. (P≠Q表示点P与Q不重合)
若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A.{Sn}是等差数列 B.{}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{}是等差数列 答案 A
3.(2015北京,6,5分)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 答案 C
4.(2014辽宁,8,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0
1
C.a1d<0 D.a1d>0 答案 C
5.(2015广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= . 答案 10
*
6.(2016天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N,bn是an和an+1的等比中项.
*
(1)设cn=-,n∈N,求证:数列{cn}是等差数列;
k*
(2)设a1=d,Tn=(-1),n∈N,求证:<.
2
证明 (1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d, 所以{cn}是等差数列. (2)Tn=(-+)+(-+)+…+(-+) =2d(a2+a4+…+a2n)
2
=2d·=2dn(n+1). 所以===·<.
教师用书专用(7—9)
7.(2015重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B
8.(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 答案 D
9.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案 5
考点二 等差数列前n项和公式
1.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8 答案 A
2.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C
3.(2015浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 答案 B
4.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是 . 答案 20
教师用书专用(5)
5.(2014福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 答案 C
2
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 等差数列及其性质
1.(2018四川德阳三校联考,3)在等差数列{an}中,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21,则a7=( ) A.7 B.10 C.20 D.30 答案 C
*
2.(2017湖南娄底二模,4)已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差不可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B
3.(人教A必5,二,2-3B,2,变式)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 B
*
4.(2017福建龙岩五校期中,14)递增数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1,n∈N),其前n项和为Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则S10= . 答案 35
考点二 等差数列前n项和公式
5.(2018湖南永州祁阳二模,4)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( ) A.60 B.75 C.90 D.105 答案 B
6.(2017广东惠州第二次调研,7)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( ) A.1 B.-1 C.2 D. 答案 A
7.(2017山西孝义高三上学期二轮模考,6)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn取得最大值时n的值为( ) A.21 B.20 C.19 D.18 答案 B
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:55分 时间:45分钟)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2018云南玉溪模拟,7)若{an}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2 013(a2 012+a2 013)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.4 027 B.4 026 C.4 025 D.4 024 答案 D
2.(2017湖南长沙长郡中学测试,8)已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若-=100,则d的值为( )
A. B. C.10 D.20 答案 B
3.(2017河北衡水中学高三上学期第三次调研,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n(n≥1),都有=,则+=( ) A. B. C. D. 答案 A
*
4.(2016中原名校4月联考,6)若数列{an}满足-=d(n∈N,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=( )
3
A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B
二、填空题(共5分)
*
5.(2018上海徐汇一模,9)若公差为d的等差数列{an}(n∈N)满足a3a4+1=0,则公差d的取值范围是 . 答案 (-∞,-2]∪[2,+∞)
三、解答题(共30分)
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6.(2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考,19)已知数列{an}中,a1=1,数列(n∈N)是公差为1的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析 (1)∵数列是首项为2,公差为1的等差数列, ∴=2+n-1=n+1,解得an=. (2)∵an==2, ∴Sn=2 =2=.
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7.(2017湖北华中师大附中期中,18)已知数列{an}满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N). (1)求证:数列是等差数列,并求其通项公式; (2)设bn=-15,求数列{|bn|}的前n项和Tn.
*
解析 (1)证明:∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N), ∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴-=2.
∴数列是公差为2,首项为2的等差数列. ∴=2+2(n-1)=2n,
2
∴an=2n.
(2)bn=-15=2n-15,
2
则数列{bn}的前n项和Sn==n-14n. 令bn=2n-15≤0,解得n≤7.
2
∴n≤7时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n+14n.
222
n≥8时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(7-14×7)+n-14n=n-14n+98. ∴Tn=
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 有关等差数列运算的求解技巧
1.(2018四川南充模拟,5)已知数列{an}满足a1=1,an>0,-=1(n∈N),那么使an<5成立的n的最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25 答案 C
2.(2017安徽合肥二模,7)已知是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=( ) A.- B.- C. D. 答案 A
方法2 等差数列的判定与证明
3.(2017江西金溪一中期中联考,11)若数列{an}满足-=1,且a1=5,则数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为( )
A.42 B.40 C.30 D.20
4
*
答案 B
4.(2018安徽合肥调研检测,18)数列{an}满足a1=1,an+=0. (1)求证:数列是等差数列;
(2)若数列{bn}满足b1=2,=,求{bn}的前n项和Sn. 解析 (1)证明:若an+1=0,则an=0,这与a1=1矛盾, ∴an+1≠0,由已知得2anan+1-an+an+1=0,∴-=2, 故数列是以=1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)可知,=1+2(n-1)=2n-1, 由=2·可知an+1bn+1=2anbn.又a1b1=2,
n-1nn
∴anbn=2×2=2,∴bn=(2n-1)·2,
123n
∴Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-1)·2,
234n+1
则2Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-1)·2,
23nn+1n+1n+1
∴-Sn=2+2×2+2×2+…+2·2-(2n-1)·2=(3-2n)·2-6,∴Sn=(2n-3)·2+6. 方法3 等差数列前n项和的最值问题
5.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模,6)等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列{an}的前n项和,则数列的前n项和取最小值时的n为( ) A.3 B.3或4 C.4或5 D.5 答案 B
6.(2016河南南阳期中,16)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为 . 答案 11
、提升部分主题宴会服务的质量，从菜单的设计打印到配套餐具与调料的准备，特别是上菜的语言服务设计将是整个服务的点缀和装饰，开盘菜的欢迎词导入，餐中重头菜肴的介绍宣传，主食供应时的再次祝福，将时刻突出主人对主宾的尊敬热情，也通过此举服务让客人在心里更加加强对朋友盛情的美好回忆，真正达到客人宴请的物质精神双重享受。、建立完善信息收集制度，降低投诉与提高存酒的信赖度根据上半年收集的案例汇总看基本集中在客人对存酒的凝虑，由于当时信息记录单一不全面导致客人对自己的酒水存放不放心，后经部门开会加强细化存酒服务流程，特别注重值台员、吧台的双向记录要求及自带酒水的饮用与存放的书面记录，以此避免了客人心中的顾虑，查询时可以第一时间告知客人排除凝虑。吧台人员在货架的分类上创新编号排放便于快速查找，起到了良好的效果。、班会组织趣味活动，展示餐厅各项技能为营造快乐班会快乐工作的氛围，餐厅经常以活动的形式来组织趣味游戏，虽然时间短暂但是收获多多，拓展PK小游戏配备奖励式处罚，融洽气氛、消除工作中的隔阂，提高相互之间的信赖度有着推波助澜的作用，包括每月的消防突击演练以真正检验全员的真实性效果，提高处变不惊的能力和处理突发事件的反应，当然托盘摆台技能的比拼才是我们真正的专业，从时间与质量考验选手的日常基本功，提高服务效率。、开展各类员工培训，提升员工综合素质本年度共开展了班会全员培训相对多一点达到46场次，业务式技能培训11场，新人入职培训场，领班主管的自主专题培训海底捞进行场，通过培训来达到思想意识的提高，拓展管理思路，开阔行业视野。、全员齐努力，销售新突破根据年初部门设定的果汁饮料销售新目标，全员不懈努力，在客源市场不是很景气的条件下发挥你追我赶宁创销售新高不伤相互感情的比拼精神，使我们的果汁数量屡创新高，到目前已销售11900多扎数，每月销售之星奖励的喜悦众人分享，从二连冠三连冠到现在的年终四连冠都是自身努力和实力的象征，餐厅也因此涌现出了一批销售之星。但是也有在销售中因没有注意语言技巧的把握而导致客人感觉有强买强的嫌疑。
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