这个方程组是三对角方程组，可以利用追赶法求解。
? 对于第二及第三 边值条件，由于条件中包含了导数，所以边值条件也必须用差商来近似表示。为使截断误差达到O(h)，需要用到牛顿等距插值公式，得
y??1h(?y0?1212?y0)?22?3y0?4y1?y22hyn?2?4yn?1?3yn2h??
??(?yn?yn?yn)?2
将这两个近似公式代入边值条件中，就得到两个方程，再与(3)联立，就可得到对应的差分方程组， 用追赶法解出yi(i=0,1,?,n)?。
?对于边值问题的收敛性，即考虑当?h→0?时，差分 方程组的解是否收敛于微分方程的准确解。以第一边值问题为例，给出如下结论，不加证明。 定理 若ai?0,ci?0,bi?ai?ci, i=1,2,?,n-1，?则差分方程组(.4)存在唯一解。且当h→0时，(8.6.4)的解收敛于第一边值问题的准确解。 例 用差分法解边值问题? ?y″-y=x?
y(0)=0, y(1)=1, 0≤x≤ 1, h=0,1 解： ?h?
?2?y1??0.1?10??????2y20.2?10????????????????2?y8??0.8?10??y???0.991??? ?9????
110,节点xi?i10,边值问题的差分方程可写成下列形式
???
用追赶法解方程组，结果如表7-8．
表7-8
i 1 差分解yi 0.070489 准确解y(xi) 0.070467 26
2 3 4 5 6 7 8 9 7.6.2试射法
0.142684 0.218305 0.299109 0.386904 0.483568 0.591068 0.711479 0.847005 0.142641 0.218244 0.299033 0.386819 0.483480 0.590985 0.711411 0.846963 ?设二阶微分方程第一边值问题 ?? y″=f(x,y,y′)?
(5)
y(a)=a,y(b)=β
试射法的基本思想是把边值问题化为初值问题来解。具体作法是通过反复调整初始时刻的斜率y′( a)的值m,使得初值问题?
y″=f(x,y,y′)? y(a)=a,y′(a)=m
的解满足另一个边值条件y(b)=β?,也就是从初值问题(6)的经过点?(a,a),而且有不同斜率的积分曲线中，去寻找一条通过(b，β)点的曲线。
?首先凭经验或按照实际存在的运动规律选取m的两个预测值m1,m2，再分别按照两个斜率求解相应的初值问题(6)，可以得到y(b)的两个结果β1,,β2?。如果β1,,β2都不满足给定的精度，就用线性插值的方法校正m1,与m2 ，得到新的斜率值?
m3?m1?m2?m1(6)
?2??1(???1)
?然后再按斜率值m3计算初值问题(6)，又得新的结果y(b)=β3。继续这一过程，直到计算结果y(b)与β相 当接近为止。
?值得注意的是，用线性插值的依据是不足的。如果有更好的插值公式可利用
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的话，则可能使测试的次数有效地减少。
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