3.3 导数的应用（2）（文科）
一、【教学目标】
重点：利用导数为主要工具解决图象交点与函数零点问题、存在性、恒成立问题. 难点：灵活运用导数解决函数零点与恒成立问题.
教育点：提高学生的认知水平，塑造良好的数学认知结构；培养学生转化与划归、数形结合、分类讨论的
数学思想方法意识及应用能力.
自主探究点:（1）函数零点问题的转化；
（2）恒成立、存在性问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法； （3）例题及变式的解题思路的探寻.
易错点：不等式对“?x”恒成立，还是“?x”使之成立；不等式两边是同一个变量还是两个独立的变量. 拓展点: 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形
结合思想的应用.
能力点：以函数零点与恒成立、存在性为命题背景，考查导数运用，培养学生分析问题、解决问题的能力. 考试点：导数的性质及应用. 二、【知识梳理】
1.函数h(x)?f(x)?g(x)的零点?方程f(x)?g(x)?0的根?方程f(x)?g(x)的根?函数
y?f(x)与y?g(x)的图象的交点的横坐标.
2.恒成立问题的转化：a?f?x?恒成立?a?f?x?max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
3.能成立问题的转化：a?f?x?能成立?a?f?x?min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max. 4.恰成立问题的转化：a?f?x?在M上恰成立?a?f?x?的解集为M???a?f(x)在M上恒成立?a≤f(x)在eRM上恒成立另一转化方法：若x?D,f(x)?A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)?A，若x?D,f(x)?B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)?B.
5.结论1：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]max； 结论2：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]min； 结论3：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]min； 结论4：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]max；
结论5：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空；
结论6：若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数
y?g?x?图象上方；
结论7：若不等式f?x??g?x?在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y?f?x?和图象在函数
y?g?x?图象下方.
三、【范例导航】
x例1.（2013江苏节选）设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?e?ax，其中a为实数．若f(x)在(1,??)上
是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围．
【分析】将f(x)在(1,??)上是单调减函数转化为f?(x)≤0在x?(1,??)上恒成立，进而利用分离参数法求出最值即可. 【解答】 解法一 则a≥f?(x)?1?a，g?(x)?ex?a，?由题意得f?(x)≤0在x?(1,??)上恒成立， x1在x?(1,??)上恒成立，故：a≥1． xg?(x)?ex?a在(1,??)上是单调增函数，?g?(x)?g?(1)?e?a
又g(x)在(1,??)上有最小值，则必有e?a?0，即a?e 综上，可知a的取值范围是(e,??)． 解法二 则a≥f?(x)?1?a，g?(x)?ex?a，?由题意得f?(x)≤0在x?(1,??)上恒成立， x1在x?(1,??)上恒成立，故：a≥1． xg(x)在(1,??)上有最小值，
?当a≤0时，g?(x)?0恒成立，?g(x)在(1,??)为单调增函数，故g(x)在(1,??)上无最小值，不合
题意；
?g(x)在(1,??)为单调增函数，当0?a≤e时，由g?(x)?0，得x?lna．又lna≤1，故g(x)在(1,??)上也无最小值，不合题意；
当a?e时，由g?(x)?0，得x?lna．又lna?1，?g(x)在(1,lna]上为单调减函数，在[lna,??)上为单调增函数，此时有最小值为g(lna)?elna?alna． 综上，可知a的取值范围是(e,??)．
【点评】求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异，在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并
集，本题解法一需要取交集，解法二需要求交集．一般而言，在同一问题中，都是对自变量做分类讨论，其结果要取交集；若是对参数做分类讨论，其结果就要取并集． 变式训练:
（2008安徽文节选）设函数f(x)?a332x?x?(a?1)x?1,其中a为实数．若f?(x)?x2?x?a?1对32任意a?(0,??)都成立，求实数x的取值范围． 【解答】
解法一（变量分离法）：由题设知：ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立， 即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立.
2222
x2?2xx2?2x≤0.解得x的取值范围是?x|?2≤x≤0?. 于是a?2对任意a?(0,??)都成立，即2x?2x?2解法二（变量转换，最值控制法）：ax2?3x?(a?1)?x2?x?a?1对任意a?(0,??)都成立. 即a(x2?2)?x2?2x?0对任意a?(0,??)都成立，
设g(a)?a(x2?2)?x2?2x(a?R)，则对任意x?R，g(a)为单调递增函数(a?R)， 所以对任意a?(0,??)，g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0， 即 ?x?2x≥0，∴?2≤x≤0， 于是x的取值范围是x|?2≤x≤0?.
2?例2．（2013福建文）已知函数f(x)?x?1?a(a?R,e为自然对数的底数). ex(1)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值； (2)求函数f(x)的极值；
(3)当a?1的值时,若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,求k的最大值. 【分析】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、零点等基础知识. 【解答】(1)由f?x??x?1?aa?，得. fx?1???exex又曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线平行于x轴， 得f??1??0，即1?(2)f??x??1???a?0，解得a?e. ea， ex①当a≤0时,f??x??0，f?x?为???,???上的增函数，所以函数f?x?无极值. ②当a?0时，令f??x??0，得ex?a，x?lna.
x????,lna?，f??x??0；x??lna,???，f??x??0.
所以f?x?在???,lna?上单调递减，在?lna,???上单调递增，
故f?x?在x?lna处取得极小值，且极小值为f?lna??lna，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f?x?无极小值；当a?0，f?x?在x?lna处取得极小值lna，无极大值. (3) 解法一
当a?1时，f?x??x?1?1. xe直线l:y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点，
等价于关于x的方程kx?1?x?1?1在R上没有实数解，即关于x的方程: ex1(*)在R上没有实数解. ex1①当k?1时，方程(*)可化为x?0，在R上没有实数解.
e1②当k?1时，方程(*)化为?xex.
k?1?k?1?x?令g?x??xe，则有g??x???1?x?e.
xx由g??x??0，得x??1，
当x变化时，g??x?、g(x)的变化情况如下表:
x g??x? g?x? 1e???,?1? ? ?1 ??1,??? ? 0 1? e当x??1时，g?x?min??，同时当x趋于??时，g?x?趋于??， 所以g?x?的取值范围为??,???.
?1?e??从而当
11??????,??时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是?1?e,1?. k?1?e?综上，得k的最大值为1.
解法二
当a?1时，f?x??x?1?1 xe1， ex令g?x??f?x???kx?1???1?k?x?则直线l:y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点，等价于方程g?x??0在R上没有实数解. 假设k?1，此时g?0??1?0，g?1?1???1??0， ?1k?1??ek?1又函数g?x?的图象连续不断，由零点存在定理，可知g?x??0在R上至少有一解，与“方程g?x??0在
R上没有实数解”矛盾，故k≤1.
1又k?1时，g?x??x?0，知方程g?x??0在R上没有实数解.
e所以k的最大值为1.
【点评】本题是函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系，进一步加深了
利用导数研究函数性质的考查和对函数极值（最值）的认识.求解过程中通过构造函数，分离变量，求出极值（最值），较好的考查了学生的推理论证能力、运算求解能力及其函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想. 变式训练:
（2009陕西文节选）已知函数f(x)?x3?3ax?1,a?0，若f(x)在x??1处取得极值，直线y?m与
y?f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解答】易求f?(x)?3(x?1)(x?2)，
?当x?1时，f?(x)?0，f(x)在(??,1)单调递增，
当1?x?2时，f?(x)?0，f(x)在(1,2)单调递减， 当x?2时，f?(x)?0，f(x)在(2,??)单调递增.
?当x?1时，有f(x)极大?f(1)?5?a，当x?2时，有f(x)极小?f(2)?2?a. 25故当f(2)?0或f(1)?0时，方程f(x)?0仅有一个实根，解得a?2或a?.
2例3 .已知两个函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,x?[?3,3],k?R； （1）若对?x?[?3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； （2）若?x?[?3,3]，使得f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； （3）若对?x1,x2?[?3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围． 【分析】利用等价转化思想将恒成立与存在性问题转化为函数最大最小值的求解问题． 【解答】
（1）设h(x)?g(x)?f(x)?2x?3x?12x?k，（1）中的问题可转化为：
当x?[?3,3]时，h(x)≥0 恒成立，即[h(x)]min≥0．易知 h?(x)?6x2?6x?12?6(x?2)(x?1)；
32?当x变化时，h(x),h?(x)的变化情况列表如下： x ?3 ?1 2 (?3,?1) (?1,2) h?(x) (2,3) 3 ? 0 ? 0 ? h(x) k?45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k?9 因为h(?1)?k?7,h(2)?k?20，所以，由上表可知?h(x)?min?k?45，故k?45≥0，得k≥45． （2）根据题意可知，问题等价于h(x)?g(x)?f(x)≥0 在x???3,3?]时有解，故?h(x)?max≥0. 由（1）可知?h(x)?max?k?7，因此k?7≥0，即k≥?7．