2013高考数学（理）二轮复习配套作业（解析版）：专题限时集训（(2)

3（x2－x－1）

(2)由(1)知，g(x)＝，从而有g′(x)＝－3x(x－3)e－x，令g′(x)＝0解得x＝0ex或x＝3，

当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数， 当x∈(0，3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0，3)上为增函数，

当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数，

15

从而函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3＝e3. 1

13．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝x－1(x>0)， 当00，当x>1时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， ∴当x＝1时，f(x)取得极大值－1，无极小值． lnx

(2)方法1：由f(x)＝0，得a＝(*)，

x1－lnxlnx

令g(x)＝x，则g′(x)＝x2，

当00，当x>e时，g′(x)<0， ∴g(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减， 1

∴g(x)max＝g(e)＝e，

lnx

又当x→0时，g(x)→－∞；当x>e时，g(x)＝x>0， 11

∴当a≤0或a＝时，方程(*)有唯一解，当0

ee1

方程(*)有两个不同解，当a>时，方程(*)无解，

e1

所以，当a≤0或a＝时，y＝f(x)有1个零点；

e1

当0

当a>e时，y＝f(x)无零点．

方法2：由f(x)＝0，得lnx＝ax，

∴y＝f(x)的零点个数为y＝lnx和y＝ax的图象交点的个数． 由y＝lnx和y＝ax的图象可知：

当a≤0时，y＝f(x)有且仅有一个零点；

1

当a>0时，若直线y＝ax与y＝lnx相切，设切点为P(x0，y0)，因为y′＝(lnx)′＝x，

1lnx01

∴k切＝＝，得x0＝e，∴k切＝，

x0x0e1

故当a＝e时，y＝f(x)有且仅有一个零点；

11

当0时，y＝f(x)无零点，

ee1

综上所述，当a≤0或a＝e时，y＝f(x)有1个零点； 1

当0

当a>时，y＝f(x)无零点．

e

(3)由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，lnx≤x－1.

∵an>0，bn>0，∴lnan≤an－1，从而有bnlnan≤bnan－bn， 即lnabnn≤bnan－bn(n∈N*)，∴?lnabii≤?biai－?bi，

i＝1i＝1i＝1

∵a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn，即?biai－?bi≤0，

i＝1i＝1∴?lnabii≤0，即ln(ab11·ab22·…·abnn)≤0，

i＝1∴ab11·ab22·…·abnn≤1.

n

n

n

n

n

n