近世代数补考试题参考答案
1 (10分). 在整数集?中, 令a?b?a?b?2, 证明: ?关于这样的乘法“?”构成一个群.
证明: 容易看出?是整数集?上一个代数运算. 设a,b,c??, 则
(a?b)?c?a?b?c?2?a?b?c?4?a?(b?c?2)?a?(b?c),
a?2?a?2?2?a?2?a,
a?(4?a)?2?(4?a)?a,
由此可见乘法“?”满足结合律, 有单位元2并且a的逆元为4?a. 因此, ?关于这样的乘法“?”构成一个群.
2 (8分). 设群G除单位元外的每个元素的阶都是2, 证明: G是交换群. 证明: 设a?G, 当a?e时, a?1?e?1?e?a,当a?e时, a2?e, 此时
a?a?1, 于是对于任意a,b?G,
ab?a?1b?1?(ba)?1?ba.
因此, G是交换群.
3 (8分). 设H是群G的子群且[G:H]?2, 证明: H是G的正规子群. 证明: 设H是群G的子群且[G:H]?2, a?G. 当a?H时, aH?H?Ha. 当a?H时, aH?H,Ha?H, 于是
G?H?aH?H?Ha,H?aH??,H?Ha??,
因此, aH?Ha. 所以, H是G的正规子群.
4 (10分). 设f是群G到G1的满同态, H1是G1的正规子群, 证明:
G/f?1(H1)?G1/H1.
证明: 设f是群G到G1的满同态, H1是G1的正规子群, 令
g:G?G1/H1,a?f(a)H1?a?G,
则对于任意bH1?G1/H1, 存在a?G使得b?f(a), 于是g(a)?f(a)H1?bH1,即g是满射. 若a,b?G, 则
g(ab)?f(ab)H1?f(a)f(b)H1?f(a)H1?f(b)H1?g(a)g(b)，
由此可见: g是G到G1/H1的满同态. 由于
Ker(g)?{a?G|g(a)?f(a)H1?H1}?{a?G|f(a)?H1}?f?1(H1)，
因此, 由群同态基本定理可得: G/f?1(H1)?G1/H1.
5 (12分). 设G是有限群, p为素数, r?1, 如果pr||G|, 证明: G中一定存在阶为pr的子群.
证明: 设|G|?psm, 其中s?1,(p,m)?1, 则由Sylow定理可知: 存在G的
ps阶子群H. 注意到H的子群也是G的子群, 下面证明: H中存在阶为pr的子群.
设C是H的中心. 对s用数学归结法.
当s?1时, r?1, 此时结论自然成立. 假设s?1并且结论对所有阶为p的方幂, 其幂指数小于s的有限群都成立. 考虑类方程
|H|?|C|??[H:Na].
a?C当a?C时, Na是H的真子群, 此时p|[H:Na], 由类方程可知:p||C|. 由于C是交换群, 因此C中存在p阶元素a并且?a?是H的正规子群. 令
H?H/?a?, 则|H|?ps?1. 于是, pr?1||H|并且H中存在阶为pr?1的子群F. 设F是H的子群使得F??a?并且F?F/?a?, 则|F|?pr?1p?pr, 此时F是H的pr阶子群. 故由归结法可得: H中存在阶为pr的子群.
6 (12分). 设(R,?,?)是一个有单位元1的环, 对于任意a,b?R, 令
a?b?a?b?1,a?b?a?b?ab,
证明: ?和?是R上的两个代数运算且R关于加法“?”和乘法“?”也构成一个有单位元的环
证明: 由于a?b?1,a?b?ab?R, 因此, ?和?是R上的两个代数运算. 设a,b,c?R, 则
(a?b)?c?a?b?c?1?a?b?c?2?a?(b?c?1)?a?(b?c),
a?b?a?b?1?b?a?1?b?a,a?1?a?1?a,a?(2?a)?1?(2?a)?a,(a?b)?c?a?b?c?(a?b)c?a?b?c?ab?ac?bc?abc a?(b?c)?a?b?c?a(b?c)?a?b?c?bc?ab?ac?abc,
a?0?a?0?a,
a?(b?c)?a?b?c?a(b?c)?a?b?c?1?ab?ac?a
?(a?b?ab)?(a?c?ac)?1?(a?b)?(a?c),(b?c)?a?b?c?a?(b?c)a?b?c?1?a?ba?ca?a
?(b?a?ba)?(c?a?ca)?1?(b?a)?(c?a),因此, R关于加法“?”和乘法“?”构成一个有单位元0的环.
7 (10分). 设I是环R的一个左理想, 令0:R?{a?R|aI?{0}}, 证明: 0:I是R的一个理想.
证明: 设I是环R的一个左理想, a,b?0:I,r?R, 则rI?I,aI?bI?{0}.于是, 对于任意i?I,ai?bi?0. 因此,
(a?b)i?ai?bi?0?i?I?(a?b)I?{0},
?(ra)I?(ar)I?I,
(ra)i?r(ai)?0,(ar)i?a(ri)?0?i?I即 a?b,ra,r?I, 所以, 0:I是R的一个理想.
8 (10分). 设R是有单位元的环, 证明: R[x]/(x)?R. 证明: 设R是有单位元的环, 则
(x)?{f(x)x|f(x)?R[x]}?{anxn???a1x|a1,?,an?R}.
令?:R[x]?R,anxn???a1x?a0?a0, 则?是多项式环R[x]到环R的一个满同态并且
Ker(?)?{anxn???a1x|a1,?,an?R}?(x).
因此由环的同态基本定理可知:
R[x]/(x)?R.
9 (10分). 设R是整环, 证明: R[x]中可逆元(即存在逆元的元素)恰好是R中的可逆元.
证明: 设f(x)是R[x]中可逆元, 则f(x)?0并且存在g(x)?R[x]使得
f(x)g(x)?1, 由此可见: g(x)?0. 令
f(x)?anxn???a0,g(x)?bmxm???b0,
则由R是整环及等式f(x)g(x)?1可得
f(x)?a0,g(x)?b0,a0b0?1.
由此可知: f(x)就是R中的可逆元.
10 (10分). 证明: ?[x]不是主理想整环.
证明: 若?[x]是主理想整环, 则理想I?(2,x)是?[x]的一个主理想; 于是存在f(x)??[x]使得(2,x)?(f(x)), 这样存在g(x),h(x)??[x]满足
2?f(x)g(x),x?f(x)h(x).
由此可见: f(x)和g(x)都是整数并且f(x)??1或f(x)??2. 当f(x)??1时,
1I?(2,x)?(?1)?Z[x], 矛盾; 当f(x)??2时,h(x)??x?Z[x],矛盾. 因此,
2?[x]不是主理想整环.