1. 在7.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h。 （1）分别就h?rNrNrN这三种情况讨论渔场鱼量方程的平,h?,h?444衡点及其稳定状况。
(2)如何获得最大持续产量，其结果与7.1节的模型有何不同？ 产量模型：记时刻t渔场中鱼量为x(t)，关于x(t)的自然增长和人工捕捞作以下的假设：
（i）若在无捕捞的条件下x(t)的增长服从logistic规律 即：
x(t)?f(x)?rx(1?x)N （1）
（其中r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长率。）
(ii)单位时间的捕捞量与渔场鱼量x(t)成正比，单位时间捕捞量为常数h
由以上条件可得到捕捞情况下渔场量满足的方程为： x(t)?F(x)?rx(1?)?h （2） 为确定最大持续雨量，可以直接求方程（2）的平衡点 令 F(x)?rx(1?)?h?0
rN?N2r2?4rh得到两个平衡点为： x1?
2rrN?N2r2?4rh x2?
2rxNxN
由题意可画出最大持续产量的图解
h?h?rN 4rN 4 当h?0 x1 rN 4xrx(1?)
Nh?N 2x2
N xx
rN时，无平衡点 4rNNN 当h?时，有两个平衡点（x1?,x2?）经判断得x1不稳定，x2422稳定。 当h?
rNN时，平衡点为x0? 42?0x?x0dFdx 由
不能判断其稳定性，但因为对于x?x0及x?x0均有F(x)?0，即x?0，所以x0不稳定
rN代入模型（1）中时，求解可得： 4NN x(t)??（c由初始值确定）
rt?c2NN若x(0)?,t??时x(t)不会趋向，即x0不稳定。
22但将h?（2）模型假设：设E为捕捞率，r是最大的增长率，有（1）的分析表明，只要捕捞适量E?r，就可使渔场鱼量稳定在x0，从而获得持续产量h(x0)?Ex0 而当捕捞过度时（E?r）渔场鱼量将趋向于x1?0， 用图解法得：
hm h
y?rx p0 y?h(x)?Ex
y?f(x)
x0 NN
x0?
2
图一 最大持续产量的图解法
根据（1）（2）式做抛物线y?f(x)和直线y?h(x)?Ex，如图一，y?f(x)在原点的切线为y?rx，所以在E?r的条件下，y?Ex与y?f(x)相交于点p，点p的横坐标就是稳定平衡点x0
根据假设（ii），p点的纵坐标h为稳定条件下单位时间的持续鱼量，由图一知道，当y?Ex与y?f(x)在抛物线顶点p0相交时，可获得最大的持续产量。
此时的稳定平衡点为： x0?N 2rN 4NN且尽量接近，
22单位时间的最大持续产量为： hm?但本题中要获得最大的持续产量，应使渔场鱼量x?即与7.1节产量模型不同的是，此题中不能让x?点。
N，因为是不平衡22.与logistic模型不同的另一种描述种群的增长规律的是Gompertz模型：x(t)?rxlnN，其中r和N的意义与logistic模型相同。 x 设渔场量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h?Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量Em和渔场鱼量水平x0
产量模型：记时刻t渔场中鱼量为x(t)，关于x(t)的自然增长和人工捕
捞作以下的假设：
（i）若在无捕捞的条件下x(t)的增长服从logistic规律 即： x(t)?f(x)?rxlnN （1） x（其中r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长率。）
(ii)单位时间的捕捞量与渔场鱼量x(t)成正比，于是单位时间的捕捞量为 h(x)?Ex （2）
由以上条件可得到捕捞情况下渔场量满足的方程为： x(t)?F(x)?rxlnN?Ex （2） x为确定最大持续雨量，可以直接求方程（2）的平衡点 令 F(x)?rxln有图解法：
0 rNeN?Ex?0 x rxlnN xEx N ex0 Nx
如图可得：有两个平衡点
x?0和x0?Ner 可验证的x?0不稳定，x0稳定（与E，r的大小无关）。 所以：最大持续产量为hm?
ErN， e
获得hm的最大产量的捕捞强度Em?r 渔场鱼量水平x0?N e17.讨论另一种捕鱼业持续收获效益模型。设渔场鱼量方程仍为7.1节（3）式，但捕捞强度E(t)，其变化规律是:当单位时间收入T大于支出S时（见7.1节（9）式）E增加，T小于S时E减少，E的变化率与
T?S成正比。
（1）建立关于E(t)的方程，求x(t),E(t)的平衡点并讨论起稳定性。 （2）将所得结果与7.1节的效益模型和捕捞过度模型进行比较。 模型假设：记时刻t渔场中鱼量为x(t)，关于x(t)的自然增长和人工捕捞作以下的假设：
（i）若在无捕捞的条件下x(t)的增长服从logistic规律 即：
x(t)?f(x)?rx(1?x)N （1）
（其中r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长率。）
(ii)单位时间的捕捞量与渔场鱼量x(t)成正比，单位时间内的的捕捞强度为E，则单位时间内的捕捞量为：
h(x)?Ex （2） 由以上条件可得到捕捞情况下渔场量满足的方程为： x(t)?F(x)?rx(1?)?Ex （3） 令F(x)?0即得：两个平衡点为x0?N(1?)，x1?0 （4）
（iii）但捕捞强度随着单位时间的变化而变化，设鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数c，单位
xNEr