(5) ?x?y (xy=x); (6) ?x?y（xy=x）; (7) ?x?y?z (x-y=z) 答：
（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1; （3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0; （4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x; （6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x; （7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): x （3）若x （1）?x（G(x,0)?M（0,0,x）） 或??x L(x,0) （2）?x?y?z ((L(x,y)?L(y,z))?L(x,z)) （3）?x?y ((L(x,y)??z(L(z,0)?G(xz,yz))) （4）?x?yM（x,y,y） （5）?x?yA(x,y,x) 3、列出下列二元关系的所有元素： （1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={ （2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={ (1) R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>} (2) R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}; (3) R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。 4、对任意集合A,B，证明：若A?A=B?B，则B=B。 证明： 若B=?，则B?B=?。从而A?A =?。故A=?。从而B=A。 若B??，则B?B??。从而A?A??。 21 个体域为自然数。将下列命题符号化： 对?x?B, 5、对任意集合A,B，证明：若A??，A?B=A?C，则B=C。 证明： 若B=?，则A?B=?。从而A?C =?。因为A??，所以C=?。即B=C。 若B??，则A?B??。从而A?C??。 对?x?B,因为A??，所以存在y?A, 使 6、设A={a,b}, B={c}。求下列集合： (1) A?{0,1}?B； (2) B2?A； (3) (A?B)2; (4) P(A)?A。 解： （1） A?{0,1}?B={,, （3） (A?B)2={,, 7、设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合： （1）A?B?C； （2）A?B?C；（3）(A?B)?C; （4）P(A)-P(B); （5）(A-B)?(B-C); （6）(A?B)?C; 解 ： (1) A?B?C={a}; (2) A?B?C={a,b,c,d,e}; (3) （A?B）?C={b,d}; (4) P(A)-P(B)={{d},{a,d}}; (5) (A-B)?(B-C)={d,c,a}; (6) (A?B) ?C={b,d}。 8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言： （1）若A?B，且B?C，则A?C； （2）若A?B，且B?C，则A?C; （3）若A?B，且B?C，则A?C； （4）若A?B，且B?C，则A?C； 证明： (1) 成立。 22 对?x?A, 因为A?B，所以x?B。又因为B?C，所以x?C。即A?C。 (2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。 (4) 成立。因为A?B, 且B?C，所以A?C。 9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。 证明： ?a，b∈A，则{a,b}是A的一个非空子集。?≤是A上的良序关系，?{a,b}有最小元。若最小元为a，则a≤b；否则 b≤a。从而≤为A上的的全序关系。 10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则R?S是A上的等价关系。 证明： ?a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故xR?Sx。从而R?S是自反的。 ?a,b∈A，aR?Sb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bR?Sa。从而R?S是对 称的。 ?a,b,c∈A，aR?Sb且bR?Sc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故aR?Sc。 从而R?S是传递的。 故R?S是A上的等价关系。 11、设R?A×A，则R自反 ?IA?R。 证明： ??x?A，?R是自反的，?xRx。即 12、设A是集合，R?A×A，则R是对称的?R＝R－1。 证明： ?? 反之? ??x，y?A，若 13、设A,B,C和D均是集合，R?A×B，S?B×C，T?C×D，则 (1) R?(S?T)=(R?S)?(R?T)； (2) R?(S?T)?(R?S)?(R?T)； 证明： （1）? 23 同理可证（R?S）?（R?T）?R?(S?T)。 故R?(S?T)=（R?S）?（R?T）。 (2) ? 14、设〈A,≤〉为偏序集，??B?A，若B有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。 证明： 设a,b都是B的最大元，则由最大元的定义a?b，b?a。??是A上的偏序关系，?a=b。即B如果有最大元则它是惟一的。 15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质： 1 1 1 2 3 2 3 2 3 解： ?0??1?1（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=?0000??1?0??;它是反自反的、反对称的、传递的； 1011??1?0??;它是反自反的、对称的； ?0??1?1（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=??0??1?0（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=?1001??0?1??;它既不是自反的、反自反的、也不是对称的、反对称的、传递的。 16、设A={1,2,?,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？ （1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}; （2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}; （3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 解： （1）和（2）都不是A的划分。 （3）是A的划分。其诱导的等价关系是 IA?{<1,2>,<2,1>,<1,7>,<7,1>,<2,7>,<7,2>,<3,5>,<5,3>,<3,10>, 24 <10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。 17、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系， R=IA?{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>} 求R诱导的划分。 解： R诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。 18、A上的偏序关系?的Hasse图如下。 下列哪些关系式成立：a?b,b?a,c?e,e?f,d?f,c?f； 分别求出下列集合关于?的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界（若存在的话）： (a) A; (b) {b,d}; (c) {b,e}; (d) {b,d,e} a e f b d c 解： (1) b?a,c?e,d?f,c?f成立； (2) (a)的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元； 无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。 (b)的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元； 上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 (c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元； 上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。 (d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元； 上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 （半群与群部分） 19、求循环群C12={e,a,a2,?,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。 解： 因为|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 个：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。 20、求下列置换的运算： 解： 25