讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思讲义编写组
【例7】 在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?
分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．
[拓展] 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多?
分析：奇数行奇数多1个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．
【例8】 小明爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100次，可是有17次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀?
分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等．其总次数必为偶数，故可被2整除．于是收回鱼杆次数为100÷2=50(次)，收回鱼杆50次有17次没钓着鱼，所以共钓鱼50-17=33（条）.
奇数和偶数的运算性质
奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数
奇偶数加减法的几个常见结论．
结论1：任意个偶数的和是偶数．
我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多
1个就接着加．即：(偶数+偶数)+(偶数+偶数)+?+(偶数+偶数)=偶数+偶数+?+偶数=(偶
数+偶数)+?+偶数=偶数+偶数=偶数.
结论2：奇数个奇数的和为奇数．
假设有2n+1个奇数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可
知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结
果为奇数．
结论3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数
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【例9】 1+2+3+4+5+6+7+?+99+100+99+98+97+96+??+7+6+5+4+3+2+1是奇数还是偶数？
分析：1-99都出现了2次因此是偶数，而100是偶数，所以这个和是偶数．
【例10】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．
分析：由结论3可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．
【例11】 桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？
分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次，11个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动6个，那总次数是偶数，偶数不可能等于奇数，因此不能把11个杯子的开口全都向下．
【例12】 一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么？
分析：两人握手一次，每人算一次就是2次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.
附加内容
【附1】 甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？
分析：注意到和奇数相邻的一定是偶数，和偶数相邻的一定是奇数甲每和乙丙交换一次位置次序，自己名次的奇偶性就发生一次变化变化了13次相当于变化一次，甲开始在第一，名次是奇数，变化一次后变为偶数名次只可能是1，2，3，这里面只有2是偶数，因此比赛结果甲是第2名．
【附2】 沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头．请说明甲、乙两船的航程不相等．
分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；甲船从1号码头出发，最终泊在6号码头，其航程必为奇数个单位．
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大显身手
1. 用数字9，8，0可以组成多少个奇数和偶数？
分析：3个奇数9，89，809；8个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.
2. 两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由.
分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.
3. （古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？
分析：根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，36是偶数，所以不能.
4. 如果有9个人坐在3行3列的座位上，要想把这9个人同时调到各自的临座上（每个座位的前后左右位置上）．是否可能？
分析：不可能，因为奇数和偶数不相等
成长故事
有一天，著名科学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说：“我经常听到你在车中预备演讲，听得多了，我也可以一字不漏地背念出来．”爱因斯坦听罢就说：“那就好极了，我昨日整天都在做研究工作，疲倦得很，况且邀请我演讲的机构与我素未谋面，你大可替我演讲，我做你的司机好了．”演讲当晚，司机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后排的爱因斯坦，也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问题，那当然是司机的演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定神闲地开始回答说：“年青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你不信的话，我可以证明给你看．这问题简单得连我的司机也懂得如何回答．”跟着，司机便邀请爱因斯坦上台作答，并且在掌声雷鸣之下离开会场．
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第六讲 计数问题
今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计数问题，尤其是图形计数看起来不难，但大多数同学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获！
暑假精讲
【例1】 数一数：右图中线段的总条数．
分析：（法1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，
由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条 ． 由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条． 由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条． 由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条． 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条． 总数5+4+3+2+1＝15条．
（法2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图
以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条． 以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条． 以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条． 以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条． 以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．
【例2】 数一数，右图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？
分析：（法1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：
由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个． 由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个． 由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个． 由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个． 由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个． 角总数5+4+3+2+1=15(个)．
（法2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：
以OA边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF共5个． 以OB边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF共4个． 以OC边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF共3个． 以OD边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF共2个． 以OE边为公共边的角有：∠EOF只1个． 角总数5+4+3+2+1=15(个)．
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【例3】 数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？
分析：（法1）
1个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个； 2个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个； 3个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF共3个； 4个三角形组成的：△AOE、△BOF共2个； 5个三角形组成的：△AOF共1个； 共有5+4+3+2+1=15（个）.
（法2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形．
以A点为共同左端点的线段有5条，即有△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个三角形； 以B点为共同左端点的线段有4条，即有△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个三角形； 以C点为共同左端点的线段有3条，即有△AOD、△BOE、△COF共3个三角形； 以D点为共同左端点的线段有2条，即有△AOE、△BOF共2个三角形； 以E点为共同左端点的线段有1条，即有△AOF共1个三角形； 共有5+4+3+2+1＝15（个）．
【例4】 数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？
分析：（法1）以1个长方形组成的；以2个长方形组成的??教师可参看数线段、角、三角形的方法1． （法2）先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有多少个长方形了．
先来看图(1)，AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有10×1=lO个长方形．
再来看图(2)，与图(1)不同的是在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有10×3=30个长方形．
最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段，所以图(3)中共有10×6=60个长方形．即：(1)(4+3+2+1)×1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．
【例5】 数一数：右图中有几个正方形？
分析：（法1）边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即4×3+3×2+2×1=20
（法2）请教师参看数长方形的法2．
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