专题16 圆锥曲线的综合应用
1．已知F1，F2是椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF12PF2的最大值是( )
4A．－2 B．1 C．2 D．4
→
→
2
2
2
x2
→
2
→
解析：设P(x，y)，依题意得点F1(－3，0)，F2(3，0)，PF12PF2＝(－3－x)(3－x)＋y＝x＋y→→
3232
－3＝x－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x－2≤1，因此PF12PF2的最大值是1.
44
答案：B
2．已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
2516A．3 B．4 C．5 D．15
x2y2
答案：D
3．过抛物线y＝43x的焦点的直线l与双曲线C：－y＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
2若x12x2＞0，则k的取值范围是( )
2
x2
2
?11?A.?－，? ?22?
1??1??－∞，－B.?∪?，＋∞? ?2??2??22??
C.?－，?
2??2
2??2??
D.?－∞，－?∪?，＋∞?
2??2??解析：易知双曲线两渐近线y＝±
222
x，当k＞或k＜－时，l与双曲线的右支有两个交点，满足222
x1x2＞0.
1
答案：D
x2y2
4．椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，
3m则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．[1，3) C．(0，3)
D．(0，1]
解析：依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°，即答案：D
5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
2
ab3
m≥3.解得0＜m≤1.
答案：B
x2y22
6．设双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0
ab＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
x2y2b解析：双曲线C：2－2＝1的一条渐近线为y＝x，
aba 2
7．已知抛物线C：x＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，→→
则FP2FQ的最小值为________．
→→→→
22
解析：如图，FP2FQ＝|FP|＝|FQ|－1.
2
→
由抛物线的定义知：|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以→→→
|FQ|min＝2，所以FP2FQ的最小值为3.
答案：3
8．已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)． 则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.
4又y1y2＝－p＝－4.
2
2
y22
3
4
所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．
4y2
4
利用导数易知y＝－在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC|＋|BD|的
4y2
最小值为3.
答案：3
y22
y22
x2y233??
9．已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P?1，?在椭圆E上．
ab22??
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．
???a＝2，
解：(1)由题意得?13解得?b＝1，
＋＝1，a4b?c＝3，??a＝b＋c，
2
2
2
2
2
c3
＝，a2
故椭圆E的方程为＋y＝1.
4
x2
2
4
10．已知抛物线C：x＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段
2
AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值； →→→→
(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)， 所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x＝8y，准线l：y＝－2. 设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值为2＋3＝5.
2
5