数学思想在一次函数中的应用
数学思想方法是数学知识的精髓，是我们解决数学问题的一把金钥匙，是学好数学的关键，在复习阶段若能进一步挖掘和运用数学思想方法，对复习效果往往能事半功倍，以一次函数问题中蕴含的数学思想方法为例，说明如下． 1．函数思想
函数方法就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． 函数思想是指用运动变化观点来研究两个变量之间的相互对应关系，灵活运用函数思想会给解决问题代来许多方便．
例1 小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示． 请你根据图象提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的 函数关系式．
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜? (3)小明这次卖瓜赚了多少钱?
【分析】这类函数又称分段函数，其特点是在自变量不同的范围内，函数的关系式不同，图象也不同．应注意两函数的转折点的坐标，它起到承上启下的功能． 解:（1）设函数关系未y=kx， 则 k=
64?1.6, 所以 y=1.6x． 40（2）由（1）知，降价前西瓜售价每千克1.6元，所以降价0．4元西瓜每千克售价1.2元，所以降价后销售的西瓜为（76－64）÷1.2=10（千克），所以小明从批发市场共购进50千克西瓜．
（3）76－（50×0.8）=36（元）， 即小明这次卖瓜赚了36元．
【评注】从图象中获取信息，将实际问题与图象结合起来，是近年来的中考热点问题，也是新课标的要求． 2．数形结合
数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
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例2 如图，l1表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；l2表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系．
(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；
(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）
【解析】1）设y?kx，因为直线过(4，4)，则4=6k，k=1，所以y=x;
（2）设y?kx?b，因为直线过（0，2）、（4，4）两点，所以y?kx?2又4?4k?2，所以k?11，所以y?x?2 221x?2∴x?4 2（3）由图象知，当x?4时，销售收入等于销售成本或x?（4）由图象知：当x?4时，工厂才能获利
【评注】 数形结合是解答本题的思想基础，利用待定系数法求解析式是解决问题的前提，由两解析式组成方程组的交点是解决问题的关键．由图象观察信息时应注意：①比较两图象的高低；②明确两图象的交点，图象的上下位置的含义． 3．分类讨论法
分类讨论法是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论法既是一种重要的数学思想，又是一种重要的教学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．
例3 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．?该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择． 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．
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某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≤10）本．如何选择方案购买呢？
【分析】本题具有一定的开放性．根据题目提供的条件，可确定出两种优惠方案，实际所花费金额y元与书法练习本x之间的关系式，结合函数的关系式，自变量的取值范围，利用函数图象，可直观予以解决．
解：分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额y元与书法练习本x本之间的关系式： y甲=（x-10）×5+25×10=5x+200 y乙=（10×25+5x）×0.9=4.5x+225
在同一直角坐标系中画出两个函数图象：
解方程组??y?5x?200,?x?50, 得?
?y?4.5x?250.?y?450. 所以两直线交于点（50，450）． 由图象很容易看到： 当10
所以我建议：如果购买书法练习本少于50本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于50本时则要选择方案乙．这样的购买方法最省钱．
【评注】 利用图象来分析问题、解决问题形象直观，在同一坐标系内，两图象的交点表示对同一x值，两函数值相等;图象在上面的函数值大，下面的函数值小．认识这些有助于解决两函数图象有交点的问题．
构建一次函数模型解实际应用性问题是近几年中考的热点，对于决策性问题要注意分类讨论的思想方法的运用．
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4．方程方法
方程方法是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题得解的方法．在函数及其图象中，方程方法的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式中．
例4 某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式； (2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
分析：由图象观察信息时应注意：①比较两图象的高低；②明确两图象的交点，图象的上下位置的含义．
解：(1)设y甲=k1x+b1．把(０，2)和(3，0)代人， 22
解得kl=-，bl=2，∴ y甲=-x+2．
33 设y乙=k2x+b2． 把(0，1)和(3，4)代入， 解得k2=1，b2=1，∴ y乙=x+1；
2??y??x?2 (2)根据题意，得?； 3??y?x?133
解得x=．所以注水小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同．
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(3)设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，t小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．根据题意，得
2Sl=3×6，Sl=9；(4-1)S2=3×6，S2=6；
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S1（-t+2）=S2（t+1）．解得t=1．
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∴ 注水1小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
【评注】 数形结合是解答本题的思想基础，利用待定系数法求解析式是解决问题的前提，由两解析式组成方程组的交点是解决问题的关键．由图象观察信息时应注意：①比较两图象的高低；②明确两图象的交点，图象的上下位置的含义．
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