2010级经贸环科《线性代数与概率论》期中考试卷
注意：选做题仅能做一个，两个都做则以第一个计分 一、 计算行列式（任选一题）满分20分
123?nx12?n?11、Dn?xx1?n?2；
?????xxx?1cb000acb000ac00?????000ca000ac2、Dn???????。
二、下面两题任选一题（满分20分）
?1??01、设A为4阶方阵，B??0??0?(2E?C?1B)AT?C?1，求A。
2?3?2??12??12?3??01，C??012?00???00001???02101??0?且?2?1??2、设?是n维非零向量，???T?，记A?E-??T，证明： （1）A2?A???1；
（2）??1时，A不可逆。
三、证明题（任选一题）（满分20分）
1、设A?(aij)n?n，证明：线性方程组AX?bb?(b1,b2,?bn)T，X?(x1,x2,?xn)T，有解的充分必要条件是ATX?0的解都是bTX?0的解。
2、证明：设?0是线性方程组AX?b,(b?0)的一个解向量，?1,?2,??n?r是
AX?0的基础解系，则?0,?i??0??i，i?1,2,?n?r是线性方程组AX?b的
n-r+1个线性无关的解向量，且AX?b的任意一个解向量?可表示为
1
???ki?i，其中?ki?1。
i?0i?0n?rn?r
四、已知方程组I，II是同解方程组，试确定方程组I中的系数a,b,c，其中
??2x1?x2?ax3?5x4?1?x1?x4?1??I：?x1?x2?x3?bx4?4；II：?x2?2x4?2。（满分20分） ?3x?x?x?2x?c?x?x??12344?1?3
五、证明题（任选一题，满分20分）
1、设向量组?1，?2，??m（m?2）中?m?0，证明：对任意的k1,k2,?km?1，向量组?i??i?ki?m线性无关的充分必要条件是?1，?2，??m线性无关。 2、设?可用?1，?2，??m线性表示，但不能用?1，?2，??m?1线性表示，证明： （1）?m不能用?1，?2，??m?1线性表示； （2）?m能用?1，?2，??m?1，?线性表示。
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