2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题
1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为
超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．
2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．
3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线
段长为2，则直线l的方程为 ．
4、
13?? ． 00sin10cos105、满足1?x2?x的实数x的取值范围是 ．
6、若实数x,y,z?0，且x?y?z?30,3x?y?z?50，则T?5x?4y?2z的取值
范围是 []．
7、在前一万个正整数构成的集合?1,2,?,10000?中，被3除余2，并且被5除余3，
被7除余4的元素个数是 ．
8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点，
?C，并将两弧各分成五等分，A1B1,B以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC内作弧? 11分点顺次为A1,P1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1， 1,P2,P3,P4,B1以及B一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其 爬行的最短距离为 ． 二、解答题
29、正整数数列?an?满足：a1?2,an?1?an?an?1；证
明：数列的任何两项皆互质．
1
10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，使HF?CE，作FD?BC，EG?BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点，
O1,O2分别为?ABG,?BCH的外接圆圆心，?O1,?O2的另一交点为N；
证明：?1?、A,B,D,G四点共圆；
FGHNMEDA?2?、O1,O2,M,N四点共圆；
BO1CO211、对于任意给定的无理数a,b及实数r?0，证明：圆周?x?a???y?b??r2上
至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．
2212、从集合M??1,2,?,36?中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不
是2015的因数，求n的最小值．
2
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题
1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为
超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个．
解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．
2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．
答案：23． 解：y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?x，
x?x?6其定义域为6?x?8，当x?6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．
3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线
段长为2，则直线l的方程为 ．
答案：x?7y?15或者7x?y?5．
解：设l的方程为y?2?k(x?1)，将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联
立，解得交点坐标A?2?3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?与,B,???，据AB?2，
?3k?43k?4??3k?43k?4?225(k2?1)1?5??5k??2k????2得?，即，所以，，分别代入k?72???1273k?43k?4?????3k?4?所设方程，得到x?7y?15或者7x?y?5．
4、
13?? ．
sin100cos100答案：4．
13cos100?sin100000013sin30cos10?cos30sin102??4?2?4解： 000000sin10cos102sin10cos102sin10cos10
3
sin200?4??4．
sin2005、满足1?x2?x的实数x的取值范围是 ．
?2?答案：??1,?．
2??2解：用图像法：令y?1?x，此为单位圆的上半圆，它与直线y?x交点??11?,?，?22?半圆位于交点左侧的图像皆在直线y?x上方；或者三角函数代换法：
因?1?x?1，令x?cos?,0????，则y?sin?，由条件式1?x2?x，平方得
2x2?1，则x??2?1，又有x?cos???1，因此x???1,?．
2?2?6、若实数x,y,z?0，且x?y?z?30,3x?y?z?50，则T?5x?4y?2z的取值
范围是 []．
答案：?120,130?．
解：T?5x?4y?2z??x?y?z???4x?3y?z??30??4x?3y?z? 因4x?2y??x?y?z???3x?y?z??80，所以T?110?(y?z)，
20?(3x?y?z)?(x?y?z)?2(x?z)，则x?z?10，因x,z非负，于是x?10，
从而由x?y?z?30知，y?z?20，得到T?110?(y?z)?130， （当z?0,x?10,y?20时取得等号）
再由4x?2y?80，y?0，则x?20，所以y?z?30?x?10，于是
T?110?(y?z)?120，（当x?20,y?0,z?10时取得等号），所以120?T?130．
7、在前一万个正整数构成的集合?1,2,?,10000?中，被3除余2，并且被5除余3，
被7除余4的元素个数是 ．
答案：95个．
解：对于每个满足条件的数n，数2n应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，2n?1应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即2n?1是105的奇倍数，而当n??1,2,?,10000?时，
4
2n?1??1,2,?,19999?，由于在?1,2,?,19999?中，共有190个数是105的倍数，其中的
奇倍数恰有95个．
8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点，
?C，并将两弧各分成五等分，A1B1,B以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC内作弧? 11分点顺次为A1,P1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1， 1,P2,P3,P4,B1以及B一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其 爬行的最短距离为 ．
答案：2sin42．
解：作两种展开，然后比较；
0?C被A1B1被A1,P由于?每段弧对应的中心角各为12，B111,P2,P3,P4,B1分成五段等弧，
0B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120，
若将?DBC绕线段DB旋转，使之与?DAB共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半
?对应的圆心角为8?12?96，PQ径为1的圆周，此时，点P 141,Q4之间直线距离为2sin48，
000若将?DAB绕线段DA旋转，?DBC绕线段DC旋转，使之皆与?DAC共面，在所
?对应的圆心角为7?12?84，此时，点P,Q之间直线距离为2sin42，得图形中，PQ 1414000所以最短距离是2sin42．
二、解答题
29、正整数数列?an?满足：a1?2,an?1?an ?an?1；证明：数列的任何两项皆互质．
0证：改写条件为 an?1?1?an(an?1)，从而an?1?an?1(an?1?1)，等等，据此迭代得
an?1?1?anan?1(an?1?1)?anan?1an?2(an?2?1)???anan?1?a1(a1?1)?anan?1?a1，
所以，an?an?1an?2?a1?1，因此当k?n，(an,ak)?1．
10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，使HF?CE，作FD?BC，EG?BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点，
O1,O2分别为?ABG,?BCH的外接圆圆心，?O1,?O2的另一交点为N；
5