习题解答
1.求下列函数在指出区间上的平均值： ⑴f(x)?x2,[0,2]； ⑵g(x)?x,[0,100]； ⑶h(x)?sinx,[0,?]
做题方法：求函数值的平均值，都是用公式
1f[a,b]?b?a例如，
?baf(x)dx
100g[0,100]1?100?0?10001?220? xdx?xx???100?33?0记住上面的公式，则求函数平均值实际上就是求积分。
请你做题⑴⑶。答案：⑴2.证明下面的不等式： ⑴
42；⑶ 3π?13?1?sin24??2??2sinxedx?0??e?； ⑵212?xdx?? 18做题方法：根据定理4?2做题。 证 ⑴ 因为
???1?esinx?e?0?x??
2??而esinx是连续函数，且既不恒等于1，也不恒等于e，所以
??2请你做题⑵。
??2sinxedx?0?e【定理4-2】 23.比较下面三个积分的大小：
A???2??2(1?sinx)dx,B?1?sin2x2??2??2sinxdx,C?x2?cos2x2??2??210(1?sin2x)dx
4x2??2解 A??????B?C???22(1?sinx)221?sinx?2sinxdx??dx ?22?1?sinx?1?sinx22??2sinxsinx?22?1?dx???2dx???0?? 2???2??1?sinx1?sinx???22???22x2sinxsinx222dx???dx?2dx?222?22220x?cosx?x?cosx0x?cosx2??222210(1?sinx)21?sinxsinx?x】 【用不等式dx?20dx?2222??04x??4x??2????A
??20??20?2?1??x????dx?20?24x2??22??2020?10?2?4x2??2????A dx2222??4x??即B?A???C
4.设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续。证明
?提示：
ba1?f(x)g(x)dx??2??baf(x)dx?2?ba?g2(x)dx?
?其中等式成立当且仅当f(x)?g(x)(a?x?b)。
?ba[f(x)?g(x)]2dx?0，其中等式成立?[f(x)?g(x)]2?0
5.设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是不恒等于零的连续函数。若没有常数?，使f(x)??g(x)或g(x)??f(x)(a?x?b)，证明
?0?因为
bf(x)g(x)dx?a?2baf(x)dx2?bag2(x)dx【柯西严格积分不等式】
证 对于任意实数?，
?ba?f(x)??g(x)?dx??baf2(x)dx?2??baf(x)g(x)dx??2?bag2(x)dx
?bag2(x)dx?0，所以上面关于?的二次三项式恒大于0?判别式??0，即
????2?也即
?bba?f(x)g(x)dx??4?2?baf(x)dx2?abag2(x)dx?0
?f(x)g(x)dx?a?baf(x)dx2?bg2(x)dx 6.设函数f(x)在闭区间[a,b]上可微分，且f(a)?f(b)?0。证明：若导数f?(x)在区间[a,b]上不恒等于0，则至少有一点??(a,b)，使
4f?(?)?(b?a)2?baf(x)dx
证 若导函数f?(x)在区间[a,b]上是无界的，则上面的结论显然成立。在相反情形下，就令M?supf?(x)(最小上界)，于是，根据微分中值定理，
a?x?b??f(x)?f(a)?f?(?1)(x?a)?M(x?a),?f(x)???f(x)?f(b)?f?(?)(x?b)?M(b?x),2??作函数
a?b??a?x?,a???x1??2??
?a?b??x?b,x???b2???2?a?b?M(x?a),a?x???2
g(x)???M(b?x),a?b?x?b??2显然函数?f(x)?g(x)，且?f(x)不恒等于g(x)【因为函数g(x)在点(a?b)2不可微分】。根据定理4-2，则
a?b2a??baf(x)dx??bag(x)dx??M(x?a)dx??(b?a)2(b?a)2(b?a) ?M?M?M884即
a?bM(b?x)dx22b
4M?(b?a)2于是，至少有一点??(a,b)，使
?baf(x)dx （※）
4f?(?)?
(b?a)24否则，假若f?(x)?(b?a)2a?x?b?baf(x)dx
?baf(x)dx，则
4M?supf?(x)?(b?a)2a?x?b就与上面的结论(※)矛盾。
7.设f为连续函数。在等号后面写出答案：
?baf(x)dx
ddxd⑴dxd⑵dx?0xadf(t)dt?f(x)；
dt?xadf(t)dt?0；
da?xaf(t)dt??f(a)
8.填空：
??x2sint2dt?2xsinx4；
bacosx2dx?0；
lntd⑶dt?t2e?xdx?212t2lnt?e?t2t 49.设f(x)为连续函数。 ⑴若f满足恒等式
??x3?10f(t)dt?x?1，求f(7)
1 12解 在等式两端求导数，则得f(x3?1)?3x2?1，令x?2，得f(7)?e?x⑵若f满足恒等式
1f(t)dt?ex?1，求f(x)
解 在等式两端求导数，则得f(e?x)(?e?x)?ex，即f(e?x)??e2x??1(e?x)2。令
t?e?x，则得f(t)??11?f(x)?? 22tx?1f(x)10.设在区间[a,b]上为连续函数。求极限lim??x?a?x?a解 用洛必达法则，则
x?1?lim??f(t)dt?lim???ax?a?x?a?x?ax??xa?f(t)dt?
??af(t)dt?0??limx?ax???0?x?af(x)?f(a)
11.设f(x)在闭区间[a,b](a?b)上为正值连续函数。证明方程
?在开区间(a,b)内有唯一实根。
证 作辅助函数
xf(t)dt?a?b1dt?0 f(t)g(x)?则
ab?xf(t)dt?a?xb1dt f(t)g(a)??1dt??f(t)?ba1dt?0，g(b)?f(t)?baf(t)dt?0
根据连续函数的零点定理，至少有一点c?(a,b)，使g(c)?0，即c?(a,b)是方程
?的根；又
xf(t)dt?a?xb1dt?0 f(t)1?0 f(x)g?(x)?f(x)?即函数g(x)是严格增函数，所以根c是唯一的。
12.设P(x),Q(x),R(x),S(x)为多项式。证明：
????xa??P(x)R(x)dx??????Q(x)S(x)dx????a??x?xa??P(x)S(x)dx?????xa?Q(x)R(x)dx?
?可被(x?a)4整除。
证 令
?f(x)????xa??P(x)R(x)dx??????Q(x)S(x)dx????a??x?xa??P(x)S(x)dx?????xa?Q(x)R(x)dx?
?则它是多项式。若能够证明
f(a)?f?(a)?f??(a)?f???(a)?0
则它就可被(x?a)4整除【见§2-9的习题3】。为此，再令
?g(x)????xa??P(x)R(x)dx??????Q(x)S(x)dx? a?x?h(x)????xa??P(x)S(x)dx??????Q(x)R(x)dx? a?x则f(x)?g(x)?h(x)。于是，就是要证明
g(a)?h(a),g?(a)?h?(a),g??(a)?h??(a),g???(a)?h???(a)
事实上，首先，显然有g(a)?h(a)?0；其次，因为
?g?(x)?P(x)R(x)???h?(x)?P(x)S(x)?????Q(x)S(x)dx??Q(x)S(x)a?x?Q(x)R(x)dx??Q(x)R(x)a?x??xaxP(x)R(x)dx P(x)S(x)dx
a所以也有g?(a)?h?(a)?0；再次，因为
?g??(x)??P?(x)R(x)?P(x)R?(x)?????Q(x)S(x)dx??P(x)R(x)Q(x)S(x)?a?
xax?Q?(x)S(x)?Q(x)S?(x)???h??(x)??P?(x)S(x)?P(x)S?(x)???P(x)R(x)dx?Q(x)S(x)P(x)R(x)
??Q(x)R(x)dx??P(x)S(x)Q(x)R(x)? a?xx?Q?(x)R(x)?Q(x)R?(x)??????P(x)R(x)dx?a??x?????3?P(x)R(x)dx??a?? ?aP(x)S(x)dx?Q(x)R(x)P(x)S(x)
所以g??(a)?2P(a)R(a)Q(a)S(a)?h??(a)
最后，根据两个函数乘积的高阶导数公式【莱布尼茨公式，教科书(p.149)】，则
?g???(x)????x??xaxQ(x)S(x)dx
?a???Q(x)S(x)dx??3??????Q(x)S(x)dx?aa? x?x?????P(x)R(x)dx?Q(x)S(x)dx? a?a??x???P(x)R(x)dx?????x??注意
?aQ(x)S(x)dx?a?aP(x)R(x)dx?0，所以
???a?g???(a)?3???xa???P(x)R(x)dx???xax?a??Q(x)S(x)dx??
x?a??3???xa??P(x)R(x)dx??x?a????xa???Q(x)S(x)dx??
x?a?3[P?(a)R(a)?P(a)R?(a)]Q(a)S(a)?3P(a)R(a)[Q?(a)S(a)?Q(a)S?(a)]
?3?P(x)Q(x)R(x)S(x)??
x?a同理，也有h???(a)?3?P(x)Q(x)R(x)S(x)??x?a。因此，g???(a)?h???(a)
13.设函数f(x)在区间[0,??)上连续。若f(x)是非负的增函数，证明函数
?1?F(x)??x?0,?在[0,??)上也是非负的增函数。
?xtf(t)dt,x?00
x?0分析：只需证明函数F(x)在[0,??)上连续，且F?(x)?0(0?x???) 证 首先证明函数F(x)在点0是右连续的，即
xx?0lim?F(x)?lim?x?01x?x0tf(t)dt?xf(x)?0?tf(t)dt?lim?lim?0??0x?0?
x?0?x?0?1其次，当x?0时，
?1F?(x)???x其中
?x0??1tf(t)dt???2x??xtf(t)dt?01xf(x)?xxf(x)?2?2xtf(t)dt0x
?xtf(t)dt?cf(c)0?x，所以 dt?cf(c)x(0?c?x)【积分中值定理】
0x2f(x)?cf(c)xxf(x)?cf(c)[xf(x)?xf(c)]?[xf(c)?cf(c)]?F?(x)?? 2xxxx[f(x)?f(c)]?f(c)(x?c)?0(x?0) ?x因此，F(x)是增函数。
14.求下列极限：
1⑴ limx?0x?0sinx?costdt?lim2x?020sinxcost2dtx?cossin2x?cosx?0???1 ???limx?01?0????⑵ limx??????etdt?2?0?????lim???x??x?2t2edt??022x2?2?2etdt?ex0??2lim22xx??ex?x0etdt22ex????? ????2limexx??2xex?lim1?0 x??x