十一、灰色关联分析法
灰色关联度是两个系统或两个因素间关联性大小的量度，它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向与速度等的相对性。
如果两因素在发展过程中相对变化态势一致性高，则两者的灰色关联度大；反之，灰色关联度就小。
所谓灰色关联分析，就是系统的因素分析，是对一个系统发展变化态势的定量比较和反映。灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小。灰色关联分析方法弥补了用数理统计作系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
具体步骤：灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 ：
（1）确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列
反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
（2）对参考数列和比较数列进行无量纲化处理
由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲也不一定相同，不便于比较，或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行无量纲化的数据处理。
（3）求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi）
所谓关联程度，实质上是曲线间几何形状的差别程度。因此曲线间差值大小，可作为关联程度的衡量尺度。对于一个参考数列X0有若干个比较数列X1, X2,?, Xn，各比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数ξ（Xi）可由下列公式算出：
?(k)??minminX?X?0??0??k??X?0?X?0??k????maxmaxX?0??0??k??X?0?X?0??k??k????k???maxmaxX?k???k?
称为关联系数，其中?称为分辨系数，??（0，1），常取0.5.实数 第二级最小差，记为Δmin。 两级最大差，记为Δmax。 为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： r(xo(k),xi(k))?(minmin?oi(k)??maxmax?oi(k))(?oi(k)??maxmax?oi(k)) ikikik（4）求关联度ri 因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下：
r?1??????k?的关联度 ??k?称为X?k?与X?n00nk?1（5）排关联序
因素间的关联程度，主要是用关联度的大小次序描述，而不仅是关联度的大小。将m个子序列对同一母序列的关联度按大小顺序排列起来，便组成了关联序，记为{x}，它反映了对于母序列来说各子序列的“优劣”关系。若r0i>r0j，则称{xi}对于同一母序列{x0}优于{xj}，记为{xi}>{xj} ；若r0i表1 代表旗县参考数列、比较数列特征值。
十二、灰色预测法 灰色预测
注：参考人口预测论文<纪江版>（灰色预测+时间序列的一次平滑指数预测法） 1、灰色预测一般有四种类型：
（1）、数列预测。对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的水平。另一个是这一水平所发生的时间。
（2）、灾变预测。对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测称为灾变预测。例如对地震时间的预测。
（3）、系统预测。对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。 （4）、拓扑预测。将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
2、使用方法前一定要在段前作一个引子，连接问题分析和数据特点，以下便是： 通过对已知数据的分析，随着时间的变化，排污量一直呈增长趋势，并且增长的很快。在这里利用灰色预测模型对（ ）进行预测。
通过对数据的分析，传统的数理统计预测方法往往需要足够多的数据，而本问题的数据给出的数据偏小，如果采用传统的方法误差太大。根据上述的特点可采用灰色预测模型。
3、灰色预测具体步骤：
（1）、首先是数据的检验处理，要求级比
?(i)?x(0)(i?1)(i)x(0)?(e?2n?12,en?1（)i?2,3,?,n)
2n?1A、如果不全属于(e,e)，则要做必要的变换处理（如取适当的常数C，作平
移变换），使其落入区域中。
B、若A不成立，则建立GM（1，1）模型 （2）、建立GM（1，1）模型
步骤一：一次累加生成数列AGO，（目的是弱化原始时间序列的随机性，增加其稳定程度） (1)(1)(1)(1)x?(x(1),x(2),?x(n) 步骤二：求均值数列 (1)(1)(1)z(k)??z(k)?(1??)z(k?1)(k?2,3,?,n)
n?1?2z(1)?(z?1?(1)(2),z(1)(3),?,z(1)(n)
步骤三：建立GM（1，1）模型相应的白化微分方程
dXdt?aX?1???
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
步骤四：求的参数估计a、b（最小二乘法）
???BB?BYn ?T?1T步骤五： 给出累加时间数列预测模型
?X?1??k??1???X??0??1????e?a??ak??a，k?0,1,2...,n
步骤六：做差得到原始预测值
?(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k)?(x(0)(1)?xba)?(e?at?e?a(k?1))
4、检验预测值
A、残差检验
?(k)?x(0)(k)?xx(0)(0)(k)(k)（i?1,2,?,n)（若?(k)<0.2,则达到一般要求;若?(k)<0.1,
则效果好
B\\级比偏差值检验
步骤一;首先有参考数据
x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),?,x(0)(n))计算出级比?0(k)，再由发展系数
a，求出相
应级比偏差
?k?1?1?0.5a1?0.5a?0(k)
若?(k)<0.2,则达到一般要求;若?(k)<0.1,则效果好 程序实现：
采用EXCEl的方法实现灰色预测。
十三、模糊综合评价 1. 模糊综合评判的一般提法
设U?{u1,u2,?,un}为研究对象的n种因素（或指标），称之为因素集（或指标集）．V?{v1,v2,?,vm}为诸因素（或指标）的m种评判所构成的评判集（或称语集、评价集、决策集等），它们的元素个数和名称均可根据实际问题的需要和决策人主观确定．实际中，很多问题的因素评判集都是模糊的，因此，综合评判应该是
V上的一个模糊子集
B?(b1,b2,?,bm)?F(V)
其中bk为评判vk对模糊子集B的隶属度：?B(vk)?bk(k?1,2,,?,m)，即反映了第k种评判vk在综合评价中所起的作用．综合评判B依赖于各因素的权重，即它应该
n是U上的模糊子集A?(a1,a2,?,an)?F(U)，且?ai?1，其中ai表示第i种因素
i?1的权重．于是，当权重A给定以后，则相应地就可以给定一个综合评判B． 2. 模糊综合评判的一般步骤
(1) 确定因素集U?{u1,u2,?,un}； (2) 确定评判集V?{v1,v2,?,vm}；
(3) 确定模糊评判矩阵R?(rij)n?m：
首先，对每一个因素ui做一个评判f(ui)(i?1,2,?,n)，则可以得U到V的一个模糊映射f，即
f:U?F(U)ui?f(ui)?(ri1,ri2,?,rim)?F(V)
然后，由模糊映射f可以诱导出模糊关系Rf?F(U?V)，即
Rf(ui,vj)?f(ui)(vj)?rij(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)
因此，可以确定出模糊评判矩阵R?(rij)n?m．而且称(U,V,R)为模糊综合评判模型，U,V,R称为该模型的三要素．
(4) 综合评判：对于权重A?(a1,a2,?,an)?F(U)，用模型M(?,?)取最大－最小合成运算，可以得到综合评判
nB?A?R(?bj??(ai?rij),j?1,2,?,m)
i?1注意到：关于评判集V的权重A?(a1,a2,?,an)的确定在综合评判中起重要的作用，通常情况下可以由决策人凭经验给出，但往往带有一定的主观性．要从实际出发，或更客观地反映实际情况可采用专家评估法、加权统计法和频数统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊关系方法等来确定． 综合评判模型的构成
如果模糊综合评判模型为(U,V,R),对于权重A?(a1,a2,?,an)?F(U)，模糊评判矩阵为R?(rij)n?m，则用模型M(?,?)运算得综合评判为