微分几何主要习题解答
微分几何参考答案：
P51页
?1. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切
线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，
?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，
?所以切线方程是
xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，
202?x?y?z?0yxz? ； 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式2．求以下曲面的曲率和挠率
?⑴ r?{acosht,asinht,at},
xyz?? 。 11?1?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。
???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，
????|r'?r''|2a2cosht1r'?r''?a{?sinht,cosht,?1}，所以k??3? ?23|r'|2acosht(2acosht)???(r',r'',r''')a21 。 ????2?4?22(r'?r'')2acosht2acosht???⑵ r'?3a{1?t2,2t,1?t2}，r''?6a{?t,1,t},r'''?6a{?1,0,1}，
????18a22(t2?1)|r'?r''|222 r'×r''=18a{t?1,?2t,t?1} ，k??3??223|r'|27a22(t?1)1 223a(t?1) 13
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???(r',r'',r''')18?6a3?21 。 ????2?24?2222(r'?r'')18a?2(t?1)3a(t?1)
???? 5．已知曲线r?{cos3t,sin3t,cos2t}，⑴求基本向量?,?,?；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
?解 ⑴ r'?{?3cos2tsint,3sin2tcost,?2sin2t}?sintcost{?3cost,3sint,?4}，
??r'ds?334?|r'(t)|?5sintcost,（设sintcost>0）， 则????{?cost,sint,?}， dt|r'|555?d?dt133????{sint,cost,0} ， ????{sint,cost,0}，
?dtds5sintcost55|?|???443??????{cost,?sint,?}，
555???????34{?sint,?cost,0} ，由于?与?方⑵ k?|?|? ，??25sintcost25sintcost??4向相反，所以 ??|?|?
25sintcost?????????????k?,?????⑶ 显然以上所得 ?,k?,?,?满足 ，而
???????????1{cost,?sint,0}??????? 也满足伏雷内公式 。
5sintcost?t8．曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acos}在那点的曲率半径最大。
2解 r'= a{1-cost,sint,-2sin
???ttt} , r''= a{sint,cost,-cos}, |r'|?22|sin|, 22222222??tttttttr'×r''=a2{?2sin3,?2sin2cos,4acos}??2a2sin2{sin,cos,1},
22????|r'?r''|22t2 , k??3?|r'×r''|=2asin218a|sint|2|r| ,R?8a|sint| ,所以在2 14
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t=(2k+1)?，k为整数处曲率半径最大。 P90页
?1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.
?解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，?为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．
?２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
?证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}
表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;
? v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}
表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。
?3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。
??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}
x?acos?cos?y?acos?sin??asin?sin?acos?cos?z?asin?acos?0?0
任意点的切平面方程为?asin?cos??acos?sin?即 xcos?cos? + ycos?sin? + zsin? - a = 0 ； 法线方程为
5．在第一基本形式为错误！未找到引用源。 =du2?sinh2udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解 由条件ds2?du2?sinh2udv2,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入ds2得
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x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin??? 。
cos?cos?cos?sin?sin?微分几何主要习题解答
ds2?du2?sinh2udv2=cosh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从v1到v2的
弧长为|?coshvdv|?|sinhv2?sinhv1|。
v1v26．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = du2?(u2?a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E?1，Fv?0，G?u2?a2，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E?1，
Fv?0，G?a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有
cos?=
Edu?u?Gdv?uEdu2?Gdv21?a2 。 ?2221?aE?u?G?v7．求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,y =y0的交角.
?解 曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x0的向量表示为???r={ x0,y,ax0y } ，其切向量ry={0，1，ax0}；坐标曲线y =y0的向量表示为r={x ,
?y0,axy0}，其切向量rx={1，0，ay0}，设两曲线x = x0与y =y0的夹角为?，则
??rx?rya2x0y0有cos? = ???
2222|rx||ry|1?ax01?ay06. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的
正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
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P130页
?1. 计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
??解 ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0} ??ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
?????rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},E?ru2= cosh2u,F?ru?rv=0,G?rv2=cosh2u. 所以错误！未找到引用源。 = cosh2udu2+ cosh2udv2 .
?n=
??ru?rvEG?F2coshusinh?12=
1{?coshucosv,?coshusinv,sinhusinv}, 2coshuL=???1, M=0, N=
coshusinh?12=1 .
所以错误！未找到引用源。 = -du2+dv2 。
22. 计算抛物面在原点的2x3?5x12?4x1x2?2x2第一基本形式,第二基本形式.
?52}, 解 曲面的向量表示为r?{x1,x2,x12?2x1x2?x22???rx1?{1,0,5x1?2x2}(0,0)?{1,0,0},rx2?{0,1,2x1?2x2}(0,0)?{0,1,0},rx1x1?{0,0,5}, ??rx1x2?{0,0,2} ,rx2x2?{0,0,2}, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
22错误！未找到引用源。=dx12?dx2, 错误！未找到引用源。=5dx12?4dx1dx2?2dx2.
3. 求出抛物面z?1(ax2?by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 2????解 rx?{1,0,ax}(0,0)?{1,0,0},ry?{0,1,by}(0,0)?{0,1,0},rxx?{0,0,a},rxy?{0,0,0}
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