矢量代数
一、矢量及其运算
? 同时给出大小和注明方向才能完全确定的的，在相加时服从平行四边形法则的物理量称
为矢量或向量。
? 矢量的几何表示方法：画一条带有箭头的直线段，以一定的比例令其长度代表矢量的大
小，并令直线段的方位及箭头的指向代表矢量的方向。矢量的大小（即直线段的长度）是正的标量（绝对值）。
? 若一矢量v的大小为0，则称该矢量为零矢量。
? 两个矢量相等，表示它们的大小相等，共线或相互平行，指向相同。 ? F1=-F2表示F1和F2大小相等，共线或相互平行，指向相反。
二、矢量相加（或称矢量的合成）和相减
? 以两个矢量为边作一个平行四边形，则从两矢量始端的交点O引出的该平行四边形的
对角线OQ就代表矢量和C
? C的大小√A^2+B^2+2ABcosφ tanγ=Bsinφ/A+Bcosφ ? 多边形法则：求多个矢量的和时，可以从第一个矢量出发，首尾相接地写出以后的矢量，
最后从第一个矢量的始端到最后一个矢量的终端画出一个矢量，即为矢量和。 ? 矢量也可以相减，所得差称为矢量差，可以看做是一个矢量与另一个矢量的负矢量的和。 即：任选一点，将两个矢量平移到同一点，从减矢量末端到被减矢量末端画一个矢量，即为矢量差。
? 矢量加法的性质：交换律（矢量和与矢量相加次序无关）、结合律。
三、矢量在给定轴上的分矢量和分量（投影）
? 一矢量在任一上的投影，等于该矢量的大小乘以该矢量与轴正方向之间夹角的余弦。 矢量在任一轴上的投影，叫做矢量在该轴上的分量。
四、矢量与标量的乘积 单位矢量
? F=qE
若标量q>0，则矢量F与E共线或相互平行，两者的方向相同，其大小等于矢量E大小的q倍；若q<0，则矢量F与E共线或相互平行，两者的方向相反，其大小等于矢量E大小的q的绝对值倍。
? 两个矢量共线（或相互平行）的充要条件是：其中任一矢量可表示为另一矢量与某一标
量的乘积。 ? 与某个矢量同方向，并且大小为1的矢量，叫做该矢量的单位矢量。er=r/r.
五、矢量的正交分解
? 把一个矢量分解为几个矢量，分解出来的矢量称为原来矢量的分矢量。 ? 将矢量沿平面或三维空间的正交轴分解，即为正交分解法。
六、矢量的分量表示式——正交分解式
?
v=vxi+vyj
?
vx=vcosα
vy=vcosβvz=vcosγ
? ? ? ?
v=vxi+vyj+vzk
v=vcosαi+vcosβj+vcosγk v的大小√vx^2+vy^2+vz^2
v的方向：cosα=vx/v cosβ=vy/v cosγ=vz/v
七、矢量合成的解析法 八、矢量的标积和矢积
? 矢量与矢量的标积是一个标量，其数值等于两矢量的大小与两者之间夹角的余弦之积。 ? 标积的性质和运算规律：
两矢量平行，标积为正负二者大小之积；两矢量垂直，标积为0；一个矢量与本身的标积为其大小的平方；交换律；分配率。 ? 矢量与矢量的矢积是矢量，其大小为两矢量的大小乘积与二者夹角的正弦；其方向垂直
于二者组成的平面，指向用右手螺旋法则确定。 ? 矢量的性质和运算规则：
两矢量平行或其中有一个为0，其矢积为零矢量；两矢量垂直，其矢积的大小为二者大小的积；同一矢量与本身的矢积为0矢量；不适合交换律；分配率。
九、矢量微积分
矢量函数
? 恒矢量：大小和方向都不改变。
? 变矢量：大小和方向至少有一个改变。
? 变矢量往往是某个标量的函数，我们成为矢量函数。
矢量的增量
? 增量=末状态量-始状态量 矢量函数的微分
? 矢量导数：求一个矢量对自己变量的导数，就可以求其三个分量对自变量的标量导数，
再乘对应的单位矢量。
矢量函数的积分
? 求矢量的定积分就可以求其分量的定积分，再乘对应的单位矢量。