（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．
11.（2008重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率
的分布列为
0 0.008 1 0.032 2 0.16 .
3 0.8 均为，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率； （Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望 解析：令
.
分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，
打满3局比赛还未停止的概率为 （Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列 2 3
4 5 6 P 从而
（局）.
12.（2008福建）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可
获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试
成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望
.
解析：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，
则.
∴该考生不需要补考就获得证书的概率为.
(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性可得
故
13.（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为． （1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为
，一等品率提高为
．如
果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解析：的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
故的分布列为：
（2）
6 0.63 ，
2 0.25 1 0.1
-2 0.02 （3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，
所以三等品率最多为
14.（2008浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸
，即
，解得
出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10个球， （i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望
。
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于中哪种颜色的球个数最少。 解析：
。并指出袋
（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A， 设袋中白球的个数为，
则
故白球有5个．
，得到．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3， 分布列是 0 1 2 3 的数学期望．
（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 故袋中红球个数最少．
，红球的个数少于．
15.（2008辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示： 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30 （Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望． 解析：
（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． （Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且 P（=8）=0.2=0.04， P（=10）=2×0.2×0.5=0.2， P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P（=14）=2×0.5×0.3=0.3， P（=16）=0.32=0.09．
P
的分布列为
8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09 2
=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）