课时跟踪检测 (三十一) 数列求和
?一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝( ) A．41 C．49
解析：选C 设Sn＝An2＋Bn，
??S3＝9A＋3B＝9，
由题知，?解得A＝1，B＝0，
?S＝25A＋5B＝25，?5
B．48 D．56
∴S7＝49．
2．数列{1＋2n1}的前n项和为( )
－
A．1＋2n C．n＋2n－1
解析：选C 由题意得an＝1＋2n1，
－
B．2＋2n D．n＋2＋2n
1－2n
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1．
1－2
3．(2017·江西新余三校联考)数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为( )
A．－200 C．200
B．－100 D．100
解析：选D 根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－?－197＋199＝2×50＝100，故选D．
24．已知正项数列{an}满足a2n＋1－6an＝an＋1an．若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝
________．
2解析：∵a2n＋1－6an＝an＋1an，
∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，
又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 2?1－3n?n∴Sn＝＝3－1．
1－3答案：3n－1
5．(2017·广西高三适应性测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则数列?an项和Tn＝________．
1?
?的前
?n＋1－1?
?
???1，n＝1，?1，n＝1，?解析：∵an＝2＝? 2
?n－?n－1?，n≥2???2n－1，n≥2，
∴an＝2n－1． ∴
11111＝＝?n－n＋1?， 2?an＋1－1?2n＋1?－14?111111
∴Tn＝?1－2＋2－3＋?＋n－n＋1?
4??11n＝?1－n＋1?＝4??4n＋4． 答案：
n
4n＋4
?二保高考，全练题型做到高考达标
?1?
1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列?a?的
?n?
前5项和为( )
15
A．或5
831C．
16
31B．或5
1615D．
8
9?1－q3?1－q6
解析：选C 设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，
1－q1－q
?1?5
1－?2?31?1?1
得q＝2，所以?a?是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝．
2116?n?
1－2
2．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1
＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋?＋|bn|＝( )
A．1－4n 1－4nC．
3
B．4n－1 4n－1D．
3
解析：选B 由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4， ∴bn＝(－3)×(－4)n1，
－
∴|bn|＝3×4n1，
－
即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列． 3?1－4n?n
∴|b1|＋|b2|＋?＋|bn|＝＝4－1．
1－4
3．(2017·江西重点中学联考)已知数列5,6,1，－5，?，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )
A．5 C．7
B．6 D．16
解析：选C 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0．
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7．故选C． 4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin?2 017×2 018A．
22 017×2 017C．
2
2
2n＋1?
?2π?，则a1＋a2＋a3＋?＋a2 018＝( )
2 018×2 019B． 22 018×2 018D． 2
2
?－n，n为奇数，2n＋1???解析：选B an＝nsin π＝?2
?2??n，n为偶数，?
∴a1＋a2＋a3＋?＋a2 018＝－12＋22－32＋42－?－2 0172＋2 0182＝(22－12)＋(42－32)2 018×2 019
＋?＋(2 0182－2 0172)＝1＋2＋3＋4＋?＋2 018＝．
2
5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2 C．2n1－2
＋
B．2n D．2n1－2
－
－1
解析：选C ∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1＝2n
＋2
n－2
2－2n2－2n1n＋1nn
＋?＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2，∴Sn＝＝2－2．故选C．
1－21－2
＋
2
6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝________．
解析：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2n?2＋2n?
为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)．
2
答案：n(n＋1)
7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， 11
Sn＋?， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3?2?2?1??
∴数列?Sn＋2?是公比为3的等比数列，
?
?
1S2＋
2∴＝3．
1S1＋
2
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， 113243S1＋?×34＝×34＝， ∴S5＋＝?2?2?22∴S5＝121． 答案：1 121
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 017＝________． 解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，① ∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n1，②
－
an＋1
∵①÷②得＝2，
an－1
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列， 1－21 0092×?1－21 008?1 010
∴S2 017＝＋＝2－3．
1－21－2答案：21 010－3
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且S2{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝．
a2
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
3
(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn．
2SnS2解：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝，
a2∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3， ∴an＝3n1，bn＝3n．
－
n?3＋3n?332111
(2)由题意得：Sn＝，cn＝＝××＝－．
22Sn23n?n＋1?nn＋11111111
∴Tn＝1－＋－＋－＋?＋－ 22334nn＋11n
＝1－＝．
n＋1n＋1
10．(2017·广州综合测试)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn．