直齿圆柱齿轮传动的优化设计
Zhgewenwadasdas asd
Asdasdasda Adasdad Adasdas Adad
摘要：
一、问题描述：
现有一单级渐开线直齿圆柱齿轮减速器，其输入功率N=280kW，输入转速n1=980r/min，传动比i=5。小齿轮为实体结构，大齿轮为腹板式结构（带有四个减轻孔），两齿轮各部分尺寸的符号如图一所示：
原用常规设计方法的设计结果为：齿宽B=B2=13cm，小齿轮齿数z1=21，模数m=0.8cm，l1=42cm，ds1=12cm，ds2=16cm。现要求在保证承载能力的条件下，通过优选上述有关参数，使减速器的体积达到最小。
二、建立优化设计目标函数：
齿轮传动优化设计中，设计变量一般选为齿轮传动的基本几何参数或性能参数，例如齿数、模数、齿宽系数、传动比、螺旋角、变位系数和中心距分离系数等。
齿轮传动的优化目标，较常见的是体积或质量最小，传动功率最大，工作寿命最长，振动最小，启动功率最小等。
现在选体积最小为优化目标，而减速器的体积主要是取决于内部零件（齿轮和轴）的尺寸大小，在齿轮和轴的结构尺寸确定之后，箱体的尺寸将随之确定，因此将齿轮和轴的总体积达到最小作为优化目标。
减速器内部有两个齿轮和两根轴，为了简化计算，将轴视为光轴，则有
V?Vs1?Vs2?Vg1?Vg2
??4ds12(l1?l3)??4ds22(l1?l2)
??4(d12?ds12)B1??4(d22?ds22)B2?3
?(D'22?D'12)(B2?C)?4(d02C) 44?式中：Vs1，Vs2——两轴体积，cm； Vg1，Vg2——两齿轮体积，cm
3
ds1，ds2——两轴的直径，cm；
l1，l2，l3——轴的长度，cm；
d1，d2——两齿轮的分度圆直径，cm， d1?mz1，d2?mz2； m——两齿轮的模数，cm；
B1,B2——两齿轮的宽度，近似取B1?B2?B,cm。
根据结构设计经验公式，齿轮各部分尺寸关系为：
??5m
D1'?1.6ds2
C?0.2B
D2'?d2?2? d0?0.25(D2'?D1')
并取：l2?32cm l3?28cm 优化设计中的设计变量取为：
X?[x1,x2,x3,x4,x5,x6]?[B,z1,m,l1,ds1,ds2] 将目标函数整理后得到：
f(X)?0.78539815(4.75x1x22x32?85x1x2x32?85x1x32
TT?0.92x1x62?x1x52?0.8x1x2x3x6?1.6x1x3x6?x4x52?x4x62?28x52?32x62)
三、确定约束条件
（1）为了避免发生根切，z1不小于最小齿数，即z1?zmin?17，于是得约束条件 g1(X)?x2?17?0
（2）为了保证齿轮的承载能力，同时避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求16?由此得：g2(X)?x1x3?1?16?0
g3(X)?35?x1x3?1?0
（3）传递动力的齿轮，模数一般应该大于2mm，并且去标准系列值，所以得： g4(X)?x3?0.2?0
（4）根据工艺装备条件，要求大齿轮直径不得超过1500cm，于是小齿轮直径相应的不能超过330cm，即mz1?33cm，故得：
g5(X)?33?x2x3?0
（5）主、从动轴直径范围按照经验取为10?ds1?15，13?ds2?20，所以有 g6(X)?x5?10?0 g7(X)?x6?13?0 g8(X)?15?x5?0 g9(X)?20?x6?0
（6）轴的支撑跨距按照结构关系l1?B?2??0.5ds2，其中?为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取??2cm，则有：
g10(X)?x4?x1?0.5x6?4?0 （7）按齿轮的接触疲劳强度条件，有：
B?35，m1070(i?1)3KM1 ?H??[?H]
aBi式中：K——载荷系数，取K?1.3；
Mi——小齿轮传递的扭矩，由功率和转速计算可得
cm； Mi?955000?280/980?273000N? [?H]——齿轮许用永接触应力，现按原材料及原设计数据，取[?H]?885Mpa； a——齿轮传动的中心距，cm，a?0.5mz1(i?1)；
将以上个参数分别代入前面的不等式，整理后得： g11(X)?8525?44163/(x2x3x1)?0 （8）按齿轮的弯曲疲劳强度条件，有 ?F?2KM1?[?F]
Bd1myF式中：d1——小齿轮分度圆直径，d1?mz1；
[?F]——齿轮的许用弯曲应力，现安原材料及原设计数据取小齿轮的许用弯曲应力[?F]1?261Mpa，大齿轮的许用弯曲应力[?F]2?213Mpa；
yF——齿形系数，对于标准齿轮，通过曲线拟合得 小齿轮 yF1?0.169?0.006666z1?0.0000854z12； 大齿轮 yF2?0.2824?0.0003539z2?0.00000157z22 所以有：
g12(X)?261?7098/[x1x2x32(0.169?0.6666?10?2x2?0.854?10?4x22)]?0 g13(X)?213?7098/[x1x2x32(0.2824?0.177?10?2x2?0.314?10?4x22)]?0 （9）主动轴刚度条件
Pl13?[f]
48EJ式中：P——作用在小齿轮上的法向压力，N，P?2M1/mz1cos?，其中?为齿轮压力角，取??20；
J——轴的惯性矩，对圆形剖面，J??ds14/64； E——轴材料的弹性模量，E?2?10MPa； [f]——轴的许用挠度，取[f]?0.003l1。 所以可以得到：
g14(X)?0.003x4?0.01233x43x2?1x3?1x5?4?0 （10）主动轴的弯曲强度条件：
50M2?(?'T)2 ???[?b]
W
式中：T——轴上的扭矩，T?M1;
cm，M?P M——轴上的弯矩，N?'l1M1l1l??290501； 2mz1cos?mz1' ?——考虑扭矩和弯矩的作用性质差异的系数，取??0.58； [?b]——轴的许用弯曲应力，[?b]?55MPa； W——轴的抗弯剖面系数，对实心轴W?0.1ds13。 带入各参数，并整理得： g15(X)?55?x3?3(29050x42)?(0.58?27300)2?0 x2x3（11）仿照前面的处理方法可得从动轴弯曲强度条件： g16(X)?55?x6?3(29050x42)?(0.58?5?27300)2?0 x2x3总结上述各式，可得到优化设计的数学模型为： minf(X) X?E s..tgj(X)?0 j?1,2,...,16 即一个具有十六个不等式约束的六维优化问题。
四、优化方法选择及优化结果： 1、采用MATLAB工具箱进行优化
首先在当前MATLAB的工作目录下建立目标函数文件myfun.m文件： function f =myfun(x)
f=0.78539815*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2) 然后建立约束条件程序confun1.m function[c,ceq]=constraint(x) c(1)=x(2)*x(3)-33 c(2)=16-x(1)/x(3) c(3)=x(1)/x(3)-35
c(4)=44163/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-855
c(5)=-261+7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.6666/100*x(2)-0.854/10000*x(2)^2)) c(6)=-213+7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.177/100*x(2)-0.314/10000*x(2)^2)) c(7)=-0.03*x(4)+0.01233*x(4)^3/x(2)/x(3)/(x(5)^4)
c(8)=-55+1/(x(5)^3)*sqrt((29050*x(4)/x(3)/x(2))^2+(0.58*27300)^2) c(9)=-55+1/(x(6)^3)*sqrt((29050*x(4)/x(3)/x(2))^2+(0.58*5*27300)^2)
6
ceq=[];
在命令窗口键入：
x(0)=[13,21,0.8,42,12,16]; A=; b=;
LBnd=[];
[x,f]=fmincon(‘myfun’,x(0),A,b,[],[],LBnd,[],’constraint’) 优化结果为：
2、使用复合型法进行优化： 在命令窗口键入：
f=0.78539815*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2);
g=[x(2)*x(3)-33,16-x(1)/x(3),x(1)/x(3)-35,44163/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-855,-261+7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.6666/100*x(2)-0.854/10000*x(2)^2)),-213+7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.177/100*x(2)-0.314/10000*x(2)^2)),-0.03*x(4)+0.01233*x(4)^3/x(2)/x(3)/(x(5)^4),-55+1/(x(5)^3)*sqrt((29050*x(4)/x(3)/x(2))^2+(0.58*27300)^2),-55+1/(x(6)^3)*sqrt((29050*x(4)/x(3)/x(2))^2+(0.58*5*27300)^2),0.2-x(3),10-x(5),13-x(6),x(5)-15,x(6)-20,4-x(4)+x(1)+0.5*x(6)]; X=;
[x,minf] = minconSimpSearch(f,g,x,1.2,0.5,8,0.3); 所得结果为：
3、使用内点罚函数法进行优化：