2.3.2离散型随机变量的方差
孙文正
一、课标点击
(一)学习目标：理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念，会求简单离散型随机变量的方差，并能根据概念解决一些简单问题. (二)教学重点：
用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差 (二)教学难点：
理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识 二、教学过程: （一）知识链接
离散型随机变量的数学期望的意义
根据分布列求数学期望和离散型随机变量的数学期望的性质。 （二）问题导引
有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本 2
（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm
110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 甲 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 乙
问题：哪种钢筋的质量较好？
(三)自主探究
1、离散型随机变量的方差 若离散型随机变量的分布列为
ξ P x1 P1 x2 P2 … … x n Pn … … 222
D ξ =（x1-Eξ)·P1+ （x2-Eξ)·P2 … + （xn-Eξ)·Pn + … 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。 思考与讨论:
1.①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；
③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。 2、满足线性关系的离散型随机变量的方差 2
D（ aξ+ b）= a·Dξ
若η=aξ+ b，则η的分布列为
η ax 1+b P
ax2+b P2 P1 … … axn+b Pn … … 22
Dη=[ax1+b -E(aξ+ b)]·P1+ [ax2+b -E(aξ+ b)]·P2 2+ …+ [axn+b -E(aξ+ b)]·Pn + … 3、
?1?服从二点分布的随机变量的方差
D?X??pq
?2?服从二项分布的随机变量的方差
设ξ ~B（ n , p ），则 Dξ=qEξ=npq，q=1-p
(四) 典例探讨
1、已知随机变量?的分布列为 ? -1 0 P 1 1 61 21 3?=3?+1
E?= ，D ?= . E ? = ，D ? =
158?,,,5. 3932、已知某离散型随机变量服从的分布列为 X P 1 p 0 q 且0＜p＜1,q=1-p,求D(X)
解：由题目知服从二点分布。所以 E(X)=p,
2222
D(X)= （1-P)·P+（0-P)·q=q·P+P·q=pq. 这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq. 3.甲乙两人每天产量相同，他们每日生产的次品个数分别为???，其分布列为
? 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
? 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
E?=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3 E?=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3
2222
D?=(0－1.3)×0.3+(1－1.3)×0.3＋（2－1.3）×0.2＋（3-1.3)×0.2=1.21 222
D?=(0－1.3)×0.1+(1－1.3)×0.5＋（2－1.3）×0.4=0.4
期望值高，平均值大，水平高。方差值小，稳定性高，水平高 (五)变式拓展
甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 9.8 9.9 10.1 10 10.2 甲 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 乙 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24 因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。
(六)归纳总结
(七)当堂检测
巩固练习 A组
1．已知随机变量的的分布列为 则DE等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
ξ P 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2．已知随机变量?满足D?=2,则D?2??3??（ ）
A.2 B.4 C.5 D.8
3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的方差为 . 4．掷一个色子所得的点数为X,求D(X). B组
－
1.设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=pk·(1－p)1k(k=0，1),则Dξ的值是（ ） A.1 B.p2 C.1－p D.(1－p) 2．事件在一次试验中发生次数?的方差D?的最大值为（ ） A. 1
B.
1 2 C.
1 4 D. 2
3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积作为变量的方差为 4．从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回地摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望和方差.