设函数f（t）=t﹣lnt， f′（t）=t﹣，t＞0，
令f′（t）=0，解得t=1，
当f′（t）＞0，即t＞1时，函数在（1，+∞）单调递增， 当f′（t）＜0，即0＜t＜1时，函数在（0，1）单调递减， 故t=1时，函数有最小值，最小值为f（1）=， 故线段AB的长度的最小值为． 故答案为：．
点评： 本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
13．（5分）（2015春?常州期中）如果函数y=a+2a﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为 3或 ．
考点： 指数型复合函数的性质及应用． 专题： 函数的性质及应用．
x
分析： 令t=a，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．
x22
解答： 解：设t=a，则函数等价为y=f（t）=t+2t﹣1=（t+1）﹣2， 对称轴为t=﹣1， 若a＞1，则0＜≤t≤a，
此时函数的最大值为f（a）=（a+1）﹣2=14，即（a+1）=16， 即a+1=4或a+1=﹣4， 即a=3或a=﹣5（舍）， 若0＜a＜1，则0＜a≤t≤，
此时函数的最大值为f（）=（+1）﹣2=14，即（+1）=16， 即+1=4或+1=﹣4， 即=3或=﹣5（舍）， 解得a=， 综上3或； 故答案为：3或；
2
2
2
2
2x
x
2
点评： 本题主要考查指数函数的性质和应用，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键． 14．（5分）（2015春?常州期中）已知函数y=f（x）是定义域为R偶函数，当x≥0时，f（x）
=，若函数f（x）在（t，t+2）上的值域是，则实数t的值的
集合为 {﹣，﹣2} ．
考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的表达式，利用数形结合进行求解即可． 解答： 解：∵函数y=f（x）是定义域为R偶函数， ∴若﹣2≤x≤0，则0≤﹣x≤2，则f（﹣x）=即当﹣2≤x≤0，f（x）=
，
=f（x），
=f（x），
若x＜﹣2，则﹣x＞2，则f（﹣x）=即当x＜﹣2，f（x）=
，
作出函数f（x）的图象如图：
当x=0时，f（x）=0， 当x=2时，f（2）=﹣2， 由由由
=﹣得x=3，x=±=﹣得x=3， =﹣得x=﹣3，
，
2
，
若函数的值域为
则t＜0＜t+2即﹣2＜t＜0， 当t=﹣∵0＜2﹣
时，f（t）=﹣，此时t+2=2﹣＜
，
，
，
∴满足函数的值域为若t+2=∵﹣
＜
时，即f（t+2）=﹣，此时t=﹣2＜0，
﹣2，
∴满足函数的值域为综上t=﹣或故答案为：{﹣
﹣2， ，﹣2}
，
点评： 本题主要考查分段函数的应用，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（14分）（2015春?常州期中）已知命题p：关于实数x的方程x+mx+1=0有两个不等的
2
负根；命题q：关于实数x的方程4x+4（m﹣2）x+1=0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
考点： 复合命题的真假． 专题： 简易逻辑．
分析： 根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．
2
解答： 解：若方程x+mx+1=0有两不等的负根， 则
，
2
解得m＞2
即命题p：m＞2，…（4分）
2
若方程4x+4（m﹣2）x+1=0无实根，
22
则△=16（m﹣2）﹣16=16（m﹣4m+3）＜0 解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．…（8分） 由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．…（10分） ∴
或
，
解得：m≥3或1＜m≤2．…（14分）
点评： 本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
16．（14分）（2015春?常州期中）已知z是复数，
均为实数，
（1）求复数z
2
（2）若复数（z+ai）在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．
分析： （1）设z=x+yi（x，y∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出； （2）利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解答： 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）， 则z（1+2i）=（x+yi）（1+2i）=x﹣2y+（2x+y）i∈R，则2x+y=0，①
则x+2y+2=0，② 由①②解得：∴（2）
．
，
，
，
在复平面上对应的点在第一象限，当且仅当：，
解得：．
．
∴实数a的取值范围是
点评： 本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了计算能力，属于中档题． 17．（14分）（2015春?常州期中）已知集合A=
2
，
C={x∈R|x+bx+c≥0}． （1）求A∪B；
（2）若（A∪B）∩C为空集，（A∪B）∪C=R，求b，c的值．
考点： 交集及其运算；并集及其运算． 专题： 集合．
分析： （1）求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的并集即可；
（2）由题意得到x+bx+c=0必有两个不等实根，记为x1，x2（x1＜x2），表示出C，根据题意确定出x1，x2的值，即可求出b与c的值．
2
解答： 解：（1）∵A=（﹣2，1），B=[2﹣4，3）， ∵2﹣1＜1， ∴A∪B=（﹣2，3）；
2
（2）由题意知，方程x+bx+c=0必有两个不等实根，记为x1，x2（x1＜x2），C=（﹣∞，x1]∪[x2，+∞），
由（A∪B）∩C为空集，得到x1≤﹣2，x2≥3， 由（A∪B）∪C=R，得到x1≥﹣2，x2≤3， ∴x1=﹣2，x2=3，
解得：b=﹣1，c=﹣6．
点评： 此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 18．（16分）（2015春?常州期中）将一个长宽分别为2米和2k米（0＜k＜1）的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，记切去的正方形边长为x（0＜x＜k）， （1）若
，求这个长方体盒子的容积的最大时的x的值；
（2）若该长方体的盒子的对角线长有最小值，求k的范围．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析： （1）化简V=4（1﹣x）（k﹣x）x=4[x﹣（1+k）x+kx]，x∈（0，k），从而求导
，
即可；
（2）记长方体的盒子的对角线长度为l米，从而可得
，
从而可得从而解得．
解答： 解：（1）V=4（1﹣x）（k﹣x）x=4[x﹣（1+k）x+kx]，x∈（0，k），
，
解得
（舍去），
；
；
3
2
3
2
；从而确定函数的最大值
，
故函数V在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减； 故这个长方体盒子的容积的最大时的x的值为．