3.4 基本不等式:ab?5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列四个命题，正确的是( )
a?b 211(x≠0)≥2,故y=x+的最小值为2 xx2?2B.y=sinx+〔x∈(0,)〕≥22,故y=sinx+的最小值为22
sinx2sinxA.y=x+C.y=x2?1+
1x?12≥2,故y=x2?1+
1x?12的最小值为2
D.y=lgx+
11(x＞0)≥2,故y=lgx+的最小值为2 lgxlgx1不一定大于零，不满足基本不等式的条件，故选项A不正确；对于B，x?22由于x∈(0,)，sinx＞0,故可用基本不等式，且sinx+≥22,当且仅当sinx=,即
2sinxsinx解析：对于A，x、
sinx=2时成立，显然“等号”取不到，故选项B不正确；对于C，由于1?x2＞0,则
1?x2+
1x2?11≥2,当且仅当x2+1=1,即x=0时成立，显然“等号”能取到，故
y=
x2?1+
x?12的最小值为2,∴C选项正确；
对于D，lgx不一定为正数，不满足基本不等式的条件，故选项D不正确.
答案：C 2.(1)已知0＜x＜(2)求函数y=x+
1,求函数y=x(1-3x)的最大值; 31的值域. x1,∴1-3x＞0. 3113x?(1?3x)211∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号
33212611成立.∴x=时，函数取得最大值.
6121解法二：∵0＜x＜,
31∴-x＞0. 3答案：(1)解法一：∵0＜x＜
1x??x11113∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3()2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立. 31236211∴x=时，函数取得最大值.
612(2)解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+
11≥2x?=2，当且仅当x=1时，等号成立. xx当x＜0时，y=x+
11=-［(-x)+］, x(?x)∵-x＞0,∴(-x)+
1≥2, (?x)当且仅当-x=∴y=x+
1即x=-1时，等号成立. ?x1≤-2. x1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). x综上,可知函数y=x+
3.根据定理中的基本公式，易得到一些常用的变形公式和递推公式，你能写出来吗？ 答案：根据定理中的基本公式得到的常用变形公式有： (1)a+b≥2ab,ab≤(
a?b2
) 2(当且仅当a=b时取等号); (2)a+
1≥2(a∈R+) a(当且仅当a=1时取等号);
1≤-2(a∈R-)(当且仅当a=-1时取等号); aba(3)+≥2(a、b同号)(当且仅当a=b时取等号). aba+
常见的推广公式有：
(1)如果a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取等号). (2)如果a、b、c∈R+，那么
a?b?c3≥abc(当且仅当a=b=c时取等号). 3(3)一般地，对于n个正数a1,a2,a3,…,an(n≥2)都有
a1?a2???ann≥a1?a2???an(当且
n仅当a1=a2=…=an时取等号).
(4)a2+b2+c2≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c时取等号). 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.设x、y满足x+4y=40且x、y都是正数，则lgx+lgy的最大值是( ) A.40 B.10 C.4 D.2
解析：lgx+lgy=lgxy=lg(答案：D
2.已知正数x、y满足
11x?4y2x·4y)≤lg［×()］=lg100=2. 44249+=1，则xy有( ) xyA.最小值12 B.最大值12 C.最小值144 D.最大值144 解析：1=
4936+≥2,即xy≥12, xyxy∴xy≥144.
答案：C
3.若a＞b＞1,P=lga?lgb，Q=解析：∵a＞b＞1,∴lga≠lgb.
1a?b(lga+lgb),R=lg，则P、Q、R的大小关系为______. 221(lga+lgb),即P＜Q. 2a?ba?b1又∵＞ab,∴lg＞lgab=(lga+lgb)，即R＞Q.
222∴lgalgb＜∴P＜Q＜R.
答案：P＜Q＜R 4.当x＞-1时，求f(x)=x+解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+
1的最小值. x?1111=x+1+-1≥2(x?1)?-1=1, x?1x?1(x?1)1，即x=0时取得等号. x?1当且仅当x+1=∴f(x)min=1.
x4?3x2?35.求函数y=的最小值. 2x?1解：令t=x2+1，则t≥1,且x2=t-1.
x4?3x2?3(t?1)2?3(t?1)?3∴y==
tx2?1t2?t?11==t++1.
tt∵t≥1,∴t+≥2t?1t11=2，当且仅当t=即t=1时，等号成立.
tt∴当x=0时，函数取得最小值3.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
x2?2x?21.函数y=(x＞-1)的图象的最低点的坐标是( )
x?1A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2) 解析：求图象的最低点的坐标，即求函数取最小值时的x、y的值. 答案：D
2.某工厂第一年产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( ) A.x=
a?ba?ba?ba?b B.x≤ C.x＞ D.x≥ 2222解析：两年后的产量为A(1+a)(1+b).
若平均增长率为x，则两年后的产量为A(1+x)2. 则A(1+x)2=A(1+a)(1+b)，即(1+x)2=(1+a)(1+b).
1?a?1?b2
)，
22?a?ba?b∴1+x≤，即x≤.
22又(1+a)(1+b)≤(
答案：B
3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值是____________. 解析：2x+4y=2x+22y≥22x22y?22x?2y?22. 当且仅当x=2y时等号成立. 答案：22
4.在满足面积和周长数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是________________. 解析：设直角三角形的两直角边为a、b，则斜边为a2?b2. 由题意知，a+b+a2?b2=
1ab. 2∵a+b+a2?b2≥2ab+2ab, ∴ab≥(4+22)2=24+162. ∴(
1ab)min=12+82. 2答案：12+82
5.已知正数a、b、x、y满足a+b=10,
ab+=1,x+y的最小值为18，求a、b的值. xy解：x+y=(x+y)(
abbxaybxay+)=a+++b=10++. xyxxyy
∵x,y＞0,a,b＞0，
∴x+y≥10+2ab=18,即ab=4. 又a+b=10， ∴??a?2,?a?8,或? b?8b?2.??x?x21［f(x1)+f(x2)］与f(1)的大小，并226.已知函数f(x)=lgx(x＞0)，若x1、x2∈R+，判断加以证明. 解：
x?x21［f(x1)+f(x2)］≤f(1). 22证明如下：
f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2, f(
x1?x2x?x2)=lg(1). 22x1?x2≥x1?x2 2∵x1＞0,x2＞0,∴
∴lgx1x2≤lg(
x1?x2x?x21)，即lgx1x2≤lg(1).
222故
x?x21［f(x1)+f(x2)］≤f(1). 227.设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1)，画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
解：设画面的高为x cm，宽为y cm，则λx2=4 840.
设纸张的面积为S，则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160.
4840，代入上式得 x2484024840S=2·x+(2×16+10)·x+160
xx4840?16=4 840++10x+160≥24 840?16?10+5 000,
x4840?16当且仅当=10x,即x=88时，等号成立.
x由λx2=4 840,得λ=
此时，由λx2=4 840得λx=55.
所以画面高88 cm，宽为55 cm时，所用纸张面积最小. 答：画面高88 cm，宽为55 cm时，所用纸张面积最小.
8.某单位用木料制作如图3-4-1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x,y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)
图3-4-1
解：由题意得x·y+
1xx·=8(x＞0,y＞0)， 22x28?4=8-x. ∴y=xx4∵y＞0,∴0＜x＜42. 设框架用料长度为l，则 l=2x+2y+2×(
16332x)=(+2)x+≥216(?2)=46?42.
2x22当且仅当(
316+2)x=，即x=8-42时，取等号.此时，y=22=2.828,x=2.344. 2x故当x为2.344 m,y为2.828 m时，用料最省.
9.某工厂拟建一座平面为长方形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长和宽都不超过16 m，处理池的高度为2 m，如果四周池壁造价为400元/m2，中间两道隔墙造价为248元/m2，池底造价为80元/m2,那么如何设计污水处理池的长与宽，才能使总造价最低？ 解：设污水处理池的长为x米，宽为y米，总造价为z元,由题意知xy=200(0＜x≤16,0＜y≤16). z=2(x+y)×400+248×2y+80×200 =800(x+y)+496y+16 000 =1 296y+800x+16 000
20+800x+16 000 x324=800(x+)+16 000.
x=1 296×∵0＜x≤16, ∴f(x)=x+
324单调递减. x200=12.5 (m). 16∴当x=16时，总造价z最小，此时y=
答：当水池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低. 10.求f(x)=3+lgx+
4的最值(0＜x＜1). lgx