第一讲 数与式的运算
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．
一、乘法公式
【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2
?a?2ab?b?2ac?2bc?ca?b?c?2ab?2bc?2ca
222222 ?等式成立
2【例1】计算：(x?22x?13132)
2解：原式=[x?(?2x)?]
121122222?(x)?(?2x)?()?2x(?2)x?2x??2??(?2x)333?x?22x?4383x?2223x?19
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)
证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)
解：原式=[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b 我们得到：
【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
【例3】计算：
22332233332222322223332233
（1）(4?m)(16?4m?m2) （2）(m?5112n)(125m2?110mn?14n)
2（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=43?m3?64?m3
（2）原式=(m)3?(n)3?52111125m?318n
3（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2
?(x?y)?x?2xy?y
3326336说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公
式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、
4、?、10的立方数，是非常有好处的． 【例4】已知x2?3x?1?0，求x?31x3的值．
1x?3 1x)?3]?3(3?3)?18
22解：?x2?3x?1?0 ?x?0 ?x?原式=(x?
1x)(x?1?21x2)?(x?1x)[(x?说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知a?b?c?0，求
a(1b?1c)?b(1c?1a)?c(1a?1b)的值．
解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b
?原式=a?b?cbc?b?a?cac?c?a?bab2
22 ?a(?a)bc3?b(?b)ac?c(?c)ab2??a?b?cabc2 ①
?a?b?(a?b)[(a?b)?3ab]??c(c?3ab)??c?3abc
33?a?b?c?3abc ②，把②代入①得原式=?3333abcabc??3
说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
333222
二、根式
式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)
(2) (4) aba2?|a| baab?a?b(a?0,b?0) ?(a?0,b?0) 【例6】化简下列各式： (1)
(3?2)2?(3?1) 2 (2)
(1?x)?3?1?1
2(2?x) (x?1)
2解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?
(2) 原式=|x?1|?|x?2|???(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)?(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)
说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)
32?3 (2)
1a?1b (3) 2x2?x?38x 解：(1) 原式=3(2?(2?3)3)2?3(2?23)3)(2?2?32?6?33 (2) 原式=a?bab?ab?abab
(3) 原式=22x2?2?x?x2?2?2x?22x?xx?22x?32x?xx
说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如
x2ab32?3)或被开方
数有分母(如)．这时可将其化为形式(如x2可化为x2) ，转化为 “分母中有根式”
的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?(2?3)3)，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．
3)(2?
【例8】计算： (1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?2b)
(2)
aa?ab?a?aab
解：(1) 原式=(1?b)?(a)?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1
22 (2) 原式=aa(a?(a?(a?b)?aa(a?b)b)b)2a?1a?b?1a?b
?b)?(a?b)(a??a?b
说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设x?2?2?2?2?33333)2,y?2?2?33，求x3?y3的值．
解：x??(2?22?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1
原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
三、分式
当分式
AB的分子、分母中至少有一个是分式时，
AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用
以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例10】化简
x?x1?xx?1x
解法一：原式=
x?x1?xx?1xxx?2?x?x(1?x)?x(x?1)(x?1)?x?xxx?1?xx?x?xx?1x(x?1)2?x(x?1)x2?x?1x
解法一：原式=
(1?x)?x(x?1x)?x?x?xx(1?x)x?12?x?xxx?1?x?x?x2?x?1x
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质
AB?A?mB?m进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
【例11】化简
x?3x?9x?27x?3x?9222?6x9x?x2?x?16?2x
解：原式=
(x?3)(x?3x?9)2?6xx(9?x)2?x?12(3?x)?(x?3)2?1x?3?6(x?3)(x?3)?x?12(x?3)
?2(x?3)?12?(x?1)(x?3)2(x?3)(x?3)?2(x?3)(x?3)?3?x2(x?3)
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
练 习
A 组
1．二次根式a A．a?0
2 ??a成立的条件是(
B．a?0 )
C．a?0 ) C．－９
D．a是任意实数
2．若x?3，则9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算： (1) (x?3y?4z)2
B．３
D．９
(2) (2a?1?b)2?(a?b)(a?2b) (4) (a?4b)(a?4b?ab)
4122(3) (a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)2
4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：
(1) (3)
?8a
4abab?ba3
(2) a??(4)
12?1a 13?2?23?1
5．化简：
B 组
1．若
1x?35(1)
m39m?10mm25?2m21m (2)
2x?2yx?x?y2xy2 (x?y?0)
1y?2，则
3x?xy?3yx?xy?y的值为( )：
5353 A． B．?35 C．? D．
2．计算：
(1) (a?b?c)(a?b?c)
(2) 1?(12?13)