第17练 平面向量中的线性问题
题型一 平面向量的线性运算
例1 如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三→
EF等于( ) 1→1→A.AB－AD 231→1→B.AB＋AD 421→1→C.AB＋DA 321→2→D.AB－AD 23
破题切入点 顺次连接，选好基底． 答案 D
→→→解析 在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→
因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.
2→2→
因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.
3→1→2→所以EF＝DC＋CB
231→2→
＝AB＋DA 23
1→2→
＝AB－AD，故选D. 23
题型二 平面向量基本定理及其应用
→→
例2 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示→→AB，AD.
等分点，那么
破题切入点 利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量． 解 在△ADM中，
1→→→→
AD＝AM－DM＝c－AB.①
2在△ABN中，
1→→→→
AB＝AN－BN＝d－AD.②
2
→2→2
由①②得AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．
33题型三 平面向量的坐标运算
例3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d. 破题切入点 向量坐标表示下的线性运算． 解 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
??－m＋4n＝3，
所以?
??2m＋n＝2，
?m＝9，得?8
n＝?9.
5
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 16
解得k＝－. 13
(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．
?4?x－4?－2?y－1?＝0，?
由题意得? 22
??x－4?＋?y－1?＝5，????x＝3，?x＝5，?得或? ?y＝－1???y＝3.
∴d＝(3，－1)或(5,3)．
总结提高 (1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础．
(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
→
1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )
34A．(，－)
5534C．(－，)
55答案 A
→
解析 由题意知AB＝(3，－4)，
43B．(，－)
5543D．(－，)
55
→AB34→
所以与AB同方向的单位向量为＝(，－)．
55→|AB|
→→
2．(2014·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于( ) →A.BC →C.AD 答案 C
→→
解析 如图，EB＋FC →→→→＝EC＋CB＋FB＋BC →→1→→＝EC＋FB＝(AC＋AB)
21→→＝·2AD＝AD. 2
3．(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF2→→→→＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ等于( )
31A. 25C. 6答案 C
→→→→→→
解析 ∵AE＝AB＋λBC，AF＝AD＋μDC， →→→→→→∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(AD＋μDC) →→→→→→→→＝AB·AD＋μAB·DC＋λBC·AD＋λμBC·DC 11＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ
22＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1. 3
∴2(λ＋μ)－λμ＝.①
2
2B. 37D. 121→B.AD 21→D.BC 2
→→→→∵CE·CF＝(1－λ)CB·(1－μ)CD →→＝(λμ－λ－μ＋1)CB·CD 1
＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)
22
＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，
3
12
∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②
335
由①②解得λ＋μ＝. 6
→
4．(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→→→
＋OB＋OC＋OD等于( )
→→→→A.OM B．2OM C．3OM D．4OM 答案 D
→
解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知OA→→→→→→→→→→＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.
→→→→→→→
5. 如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC→→3→→→→的夹角为30°，且|OA|＝2，|OB|＝，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，
2则( ) A．λ＝4，μ＝2 4
C．λ＝2，μ＝
3答案 C
→→
解析 设与OA，OB同方向的单位向量分别为a，b， →
依题意有OC＝4a＋2b， →→3又OA＝2a，OB＝b，
2→→4→则OC＝2OA＋OB，
34
所以λ＝2，μ＝.
3
6.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于14→→→→
不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN (m，n>0)，则＋的最小值为( )
mn
83
B．λ＝，μ＝
3234
D．λ＝，μ＝
23
A．2 9C. 2答案 C
→→→
解析 MO＝AO－AM
B．4 D．9
→→
AB＋AC1→?11?→1→＝－AB＝?2－m?AB＋AC.
2m2
11?→1→→同理NO＝??2－n?AC＋2AB，M，O，N三点共线， 11→1→11?→1→
－AB＋AC＝λ??2－n?AC＋AB?， 故???2m?2?2??
11λ?→?1λλ?→11λ1λλ→→
－－AB＋－＋AC＝0，由于AB，AC不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋即??2m2??22n?2m222n＝0，消掉λ即得m＋n＝2， 14?141
故＋＝(m＋n)??m＋n? mn2n4m119
5＋＋?≥(5＋4)＝. ＝?mn?22?2
12→→→7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2
23为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 1
答案
2解析 如图，
→→→1→2→DE＝DB＋BE＝AB＋BC
23
1→2→→1→2→
＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC， 2363121则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝. 632
→→→
8．(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________. 答案 2
→→→→
解析 由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB＋AD＝AC＝2AO，∴λ＝2. 9．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________. 答案
5