这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（（12分） 答：当箱子底边长为）==．…时，箱子容积最大，最大值为． …（14分） 点评： 本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键． 18．（16分）已知二次函数f（x）=ax﹣bx+1．
（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；
（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值． 考点： 一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 计算题． 2分析： （1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值； （1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案． 解答： 2解：（1）不等式ax﹣bx+1＞0的解集是（，）， 故方程ax﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=， 所以=x1x2=，=x1+x2=， 22
所以a=12，b=7． （2）∵b=a+2， ∴f（x）=ax﹣（a+2）x+1=a（x﹣对称轴x=当a≥2时，x==+， =+∈（，1]， 2）﹣2+1， ∴f（x）min=f（当a=1时，x=）=1﹣=﹣1，∴a=2； =+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立． 综上可得：a=1或a=2． 点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
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19．（16分）各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=（1）求an； （2）设函数f（n）=
，cn=f（2+4（n∈N），求数列{cn} 的前n
n
*
2
++（n∈N）
*
项和Tn；
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，求实数λ的最大值． 考点： 数列与不等式的综合；分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的函数特性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 2*（1）由已知可得Sn=++（n∈N）从而导出，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，而an为正数，所以an﹣an﹣1=2（n≥2），由此推出an的通项公式． （2）先求出{cn}的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可，注意讨论n； （3）根据不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，将参数λ分离出来，研究不等式另一侧的最值，又m+n=3k且m≠n，利用基本不等式即可求出最值，从而求出实数λ的最大值． 解答： 2*解：（1）由Sn=++（n∈N）…① 得n≥2时，Sn﹣1=2++（n∈N）…② *①﹣②化简可得，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0 又an＞0，所以当n≥2时，an﹣an﹣1=2 ∴数列{an} 成等差数列，公差为2 又∴an=2n﹣1 （2）由f（n）=， 则a1=1 可得c1=f（6）=f（3）=a3=5 c2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1 当n≥3时 cn=f（2+4）=f（2故当n≥3时 Tn=2+n ∴ nnn﹣1+2）=f（2n﹣2+1）=2（2n﹣1+1）﹣1=2n﹣1+1 12
（3）Sm+Sn＞λSk?md+nd＞c?kd?m+n＞λ?k，222222222恒成立． 又m+n=3k且m≠n，， 故，即λ的最大值为 ． 点评： 本题考查数列的性质和应用，以及最值的研究，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，属于中档题． 20．（16分）设函数y=f（x）=x﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f（x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|． （1）求b及k的值；
（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值； （3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：
+
考不等式的证明；二次函数的性质． 点： 专综合题． 题： 分（1）已知函数y=f（x）=x2﹣bx+1，根据偶函数的性质，f（﹣x）=f（x），求出b值，2析： 设方程x+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=，可以求出k值； （2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解； （3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x）（2﹣x）≥222
+≤．
恒成立，可以转化为≤（2x﹣x），利用此不等式进行放缩，从而进行证明； 2解解：（1）由已知，y=f（x）=x﹣bx+1为偶函数，所以b=0； …（2分） 2答： 设方程x+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=得： |x1﹣x2|=2== 解得k=﹣1； …（4分） （2）由（1）知f（x）=x+1，g（x）=﹣x+2，故F（x）=f（x）g（x）=﹣x+2x﹣x+2， 由F′（x）=﹣3x+4x﹣1=0，解得x1=1，x2=，…（6分） 列表如下： x 0 F′（x） 232（0，） ﹣ （，1） + 1 13
F（x） 2 减函数 增函数 2 所以，函数F（x）在区间[0，1]上的最小值为f（）=分） ； …（10（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x）（2﹣x）≥所以≤（2﹣x），有≤（2x﹣x），…（12分） 22恒成立， 当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时， +=+≤[2（sinα+sinβ+sinγ）﹣（sinα+sinβ+sinγ） 222…（14分） 2222又1=（sinα+sinβ+sinγ）≤3（sinα+sinβ+sinγ）， ∴sinα+sinβ+sinγ≥， ∴++≤（2﹣）=， 222当且仅当sinα=sinβ=sinγ=时，等号成立．…（16分） 点此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值问题，解题的过程中用到了转化的思评： 想，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，是一道难题，同学们要认真做好笔记；
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