天津大学电子信息工程学院
图3 不同κ时的von Mises概率分布曲线(μ=0)
另一种观点是将模型看成是随机散射分量与确定镜像-视距分量的叠加。针对视距分量，文献[16]提出扩展模型。针对镜像分量估计，我们可直接取似然函数的最大值法或使用迭代过程，如RIMAX算法，此算法的确定性参数和随机分量可分别使用上述两种模型来估计（具体细节见文献[33]）。
4. CRAMéR–RAO下界
本节我们得出CRLB并得到大样本下估计量与理论下限性能的差距，这对估计量的逐步优化很必要。本文第五节的仿真结果将得出所得估计值与CRLB的性能差异。详细推导见附录1。
设θ={μ,κ,α,Δ}，Fisher信息矩阵的第{i,j}个元素为
{I}i,j?Nstr{CyDjCyDi} (13)
其中Di?D?是Cy=Cy(θ)对θi求导而成的导数。
i由式(7)和(10)，我们可以得到矩阵Cy(θ)第(p,q)块第(l,m)元素相对μ,κ,α,Δ的偏导数，即如下所示：
?1?1{blocpkD,q(u)},l?m?(p, ??PuexpCPuexp(C,pq?cos?(10?I))(1I/2)(??1?121/2??) ??)]q?11/21?1/2co?s(I))?I(?)(?)Cp?01,q[2?s?in(??)co?blsm()?? (14)?si n(1??{blockp,q(D?)}l,m??Puexp(Cp,qcos(?))[?I0?2(?)I1(?)I0(?1/2)?I0?1(?)I1(?1/2)??1/2]
2???2?1??Puexp(Cp,qcos(?))[?I0(?)I1(?)I0(?1/2)I0(?)I1(?1/2) 1??2?1/2(Cpq?sin(?)sin(?)???blmcos(???))] (15)
1???1{blockp,q(D?)}l,m??Pu[exp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2?exp(Cp,qcos(?))I0(?1/2)Cp,qsin(?)]
2?? ??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?) (16) ?[I1(?1/22)??1/2(Cpq?2sin(?)cos(?)?Cpq?cos(?)(blmsin(?)??sin(?)))?I0(?1/2)Cpqsin(?)]
?16
天津大学电子信息工程学院
1???1{blockp,q(D?)}l,m??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2
2??
其中，
22??(Cpq?2sin2(?)?2Cpq?sin(?)(blmsin(?)??sin(?))?2?blmcos(???)??2?blm)
?1??Puexp(Cp,qcos(?))I0(?)I1(?1/2)??1/2?[C?sin(?)?Cpqsin(?)(blmsin(?)??sin(?))]2pq2 (17)
Ω是路径损耗，Pu是发射序列功率。I0(·)和I1(·)分别是修正后的贝塞尔第一类零阶和第一类一阶函数。 CRLB不等式可被用来评估每个作为(13)中费舍尔信息矩阵逆矩阵对角线元素的参数。
5.时域传播参数估计
如果我们认为造成角度和时间扩展的机理高度相关，功率方位角延迟谱可以当成是特定的谱函数，那么我们可以把(3)的模型扩展应用到频率选择性信道。基于上述理解，我们将模型概括为：
Y(k)?H?w(l)u(k?l)?N(k) (18)
l?0L?1 其中L是信道冲击响应矩阵非零元素的最大数目。由于w(k)是复值，可被写成w(k)=|w(k)|ejθ(k),我们假设k=0,…L-1时,θ(k)是相互独立且在[0,2π]内均匀分布，|w(k)︱是确定值。
式(6)假设观测值是独立同分布的，但如果信道是频率选择性的，则不需要这种假设。与需优化的算法相比，该算法会有一些性能损失。但预计这种损失不会很明显，因为所有空间信息都已包含在矩阵H中。因此与需要更多优化的算法相比，该算法的估计值能以低复杂度得出。正如第6节所示，本文所用算法即使在频率选择性信道中也能得到可靠估计值。
如附录2所示，由a-d假设和上述w(k)的假设，我们能得到：
Cy?PCuH?Cn (19)
其中，Pu在(7)中已被定义。因此角度参数估计可以采用与窄带模型相同的算法。本节我们集中讨论时
域参数，它可采用标准估计算法得到。
人们已在一些测量活动中研究了功率延迟谱(PDS)，我们在这里简要探讨一下。实验数据表明功率延迟谱能用指数衰减函数来精确近似，即
w(k)?e2?(1/?d)(k?kd),k?0 (20)
kd是离散群延迟或到达时间(TOA)，我们要估计簇的到达时间(TOA)和指数衰减因子ζd。
假设发射信号是长为NsM的序列，其循环自相关函数为r(i), r(i)中r(0)=Ns和r(i)=-1,0 ?Ns?1k?0?[h?w(l)u(k?l)?nnml?0L?1nm(k)]u?(k?i) (21) 其中，hnm是矩阵H第(n,m)个元素，nnm(k)是矩阵N(k)第(n,m)个元素。利用发射序列自相关特性并假 设u(k)与测量噪声n(k)间的循环自相关影响可忽略不计，我们得到： rnm(i)?Nshnmw(i)u(k?i) (22) yu27 天津大学电子信息工程学院 yu2由式(11)可得E[|hnm|2]=1,假设hnm和w(k)是相互独立的。对所有天线的rnm(i)均一化处理，我们能得 到： 1 r(i)?NMyuyu(i)?Ns2Puw(l) (23) ??rnmn?1m?1NM22其中，Pu?u(k) 那么我们能推导出以下时域参数的估计算法： a) 计算 2?(l))??(l)?(w INMNs?121NMINs2Pu2 (24) ?????u(k?l)?ynm(k?(i?1)Ns)i?1n?1m?1k?0其中I是快拍数，Ns是一次快拍的样本数。 b) 由于ξ(l)的噪声属性，实际中不方便将ξ(l)最高峰值作为到达时间的估计值，而是将满足ξ(k)≥ε(ε 是固定门限值)的首个样本k作为估计值。由于信道探测中，信噪比一般较大，ε的选取并不是个困难问题。本文仿真中，我们取ε=0.02。其他应用是基于标准检测理论来确定ε。 c) 由序列ξ(l) ,l=k,…,Ns-1，我们能计算延迟因子ζd。由式(20)logw(k)2??k/?，ζ可采用文献 d d[36]的多项式最小二乘法得到。 有人已在CDMA接收机中使用了类似算法，文献[34],[37]中采用了与M序列有相似特性的序列。 6.仿真结果 本节我们使用仿真中获得的数据来验证理论结果及评价估计量的有效性。 A． 仿真1：与CRLB的性能比较 仿真中，发射端和接收端都是由M=N=4均匀直线天线阵列构成的。接收信号可以被写成： vec(Y(k))?Rw(k)?vec(N(k)) (25) R1/2是由E[vec(H)vecH(H)]经Cholesky分解得到，w(k)和vec(N(k))是变量已知的循环复数高斯白噪声过程，E[w(k)wH(k)]是单位矩阵。每个天线的信噪比(SNR)经20dB处理后被定义为SNR=10log10[E[|y(k)|2]/ E[|n(k)|2]。路径损耗Ω=1。本文认为即使式(25)中R1/2及w(k)不是直接和式(3)中H(k)及u(k)相对应，(25)与(3)中向量vec(Y(k))也有相同的统计量。因为 E[Rw(k)W(k)](R)?R(R)?E[vec(H)vec(H)] 图(4)把仿真估计值与CRLB的均方误差(MSE)看成是样本量的函数来进行比较。仿真算法运行200次得到MSE曲线。接收阵列角度β=90°，对称中心μ=70°+β，κ={5,30,200}，发射阵列角度Δ=10°。我们发现小样本时，对所有κ值，仿真估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。图(5)把仿真估计值与CRLB的均方误差(MSE)看成是信噪比(SNR)的函数。所有参数估计值的MSE曲线都接近CRLB的MSE曲线。 B．仿真2时域扩展信道 仿真中，我们将评估信道估计算法在时间延迟信道上的性能。发射端有一个天线，接收端有11个均匀直线天线阵列。我们把信道看成是很多波的叠加来进行仿真，并定义： 1/2H1/2H1/21/2HH1/28 天津大学电子信息工程学院 vec(Y(k))?其中 xn(k)??x(k)?vec(N(k)) (26) nn?1Nw1ej?c(?n)u(k??n),n?1,?,Nw (27) Nwψ是随机相位，C(Φn)是导向向量，ηn是第n个传输波延迟。为了模拟散射信号，我们需要无穷多的散射波，仿真时我们用10000个散射波来近似模拟信道。随机相位ψ均匀分布在[0,2π]内。到达接收端的角度Φn服从μ=75.78°+β和κ=26.93°时的von Mises分布。当延迟因数ζd=2.34μs，时间延迟服从指数分布。 探测序列是长为127的复数M序列，符号持续时间Tp=1/(4.096×106)s，抽样间隔Ts=Tp/2。随机噪声是一个复数高斯白噪声过程。一次快拍测量需要运行50次才能得到结果。 图6和图7分别是功率水平谱估计值和功率延迟谱估计值与它们真实值的比较。由式(12)得出参数估 ??27.08，von Mises概率密度函数便能得到功率水平谱的仿真估计值。由第5节??75.78??和?计值??得出ζd=2.51μs和群延迟(TOA)是16个抽样时间，便得到功率延迟谱仿真估计值。真实的功率水平谱和功 率延迟谱可分别由延时因子ηn的直方图和角度Φn(Δη=Tp，Δθ=1°)得出。文献[16]认为直方图和功率水平谱密切相关。频谱仿真估计值与真实值非常稳合。 图4 κ取5,30,200时，仿真估计值与CRLB的MSE可看成是样本量的函数。接收阵列和发射阵列都是4个均匀直线 天线阵列。对所有的κ值，在小样本量时，估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。 9 天津大学电子信息工程学院 图5 对每个未知参数，仿真估计值与CRLB的MSE可看成是SNR的函数，发射阵列和接收端阵列4个ULA阵列。 小样本时，仿真估计值的MSE曲线接近CRLB的MSE曲线。 ??75.78???和??27.08?， 由von Mises概率分布函数可得到功率水图6 功率水平谱真实值与仿真值比较。当估计参数?平谱仿真估计值。接收端有11个ULA天线阵列。 10