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X的分布列如解析所示，期望为 .
5
6
【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可填表格，再由公式计算??2,并且和3.841比较大小，即可得出结论；（Ⅱ）根据层比为1:4，分别得到年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，分别对这5人分类标号，并通过列举法计算出所有可能出现的情况，即可求出X的分布列和期望值. 试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可得： 20~40岁 大于40岁 合计
2
250(20×12?10×8)
由列联表可得：??=30×20×28×22
购买意愿强 20 10 30 购买意愿弱 8 12 20 合计 28 22 50 ≈3.46<3.841，
所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． （Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为=，
20
45
1
所以年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人， 则X的可能取值为0，1，2，
??(??=0)=??2，????(??=1)=2=10
5
??2
1
1
??12??3??25
=10=5，????(??=2)=??3， 2=10
5
63
??2
3
所以分布列为 X P 数学期望为??(??)=0×
110
0 1 101 3 52 3 10+1×+2×
5
64
3310
=．
5
6
19．（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）.
【解析】 试题分析：（Ⅰ）取????的中点??，利用中位线的性质，可证明平面GEF//平面ABC，进而得到EF//平面ABC；（Ⅱ）由题意，建立空间直角坐标系?????????，分别求出平面??????和平面??????的法向量，求出法向量之间的夹角即可求出二面角??????????的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF， 则GE//AC，GF//AB，
因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC， 所以EF//平面ABC．
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（Ⅱ）作BO⊥AC于点O，过点O作OH//PA，
以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，
则??(0，??，??0)，????(，??0，??0)，????(0，???，??1)，????
2
2
3 3 ∴????=(0，???2，??1)，?? ????=(2，???2，??0)，
3
32
1
=(1，??0，??0)?． 则平面CDA的一个法向量为 ?? =(??，????，????)，?? 设平面CDB的一个法向量为 ???2??+??=0，? ?·? ??????=0，?
则{?{ 3 3
?·??? ???2??=0，??????=02
?·??? 6 =( 3，??1，??2)，所以cos? ，?? ?=??可取 ??????=， |??|?·?|??|4
所以二面角B?CD?A的余弦值为4．
6
20．（Ⅰ）??2=4??;（Ⅱ）.
225
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可得，设中点坐标??(??，????)，表示出点??(2??，??2??)，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线??的方程；（Ⅱ）由题意可设切线方程为：?????0=??(?????0)，进而得到切线与x轴的交点为(??0?
??0
，??0)，由圆心到切线方程的距离为半径，得到??22
(??20?4??0)??+(4??0?2??0??0)??+??0?4=0，由韦达定理，可得到??△??????的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值. 试题解析：
（Ⅰ）设??(??，????)，则点??(2??，??2??)在抛物线??2=8??上，
所以4??2=16??，即??2=4??，所以曲线C的方程为：??2=4??． （Ⅱ）设切线方程为：?????0=??(?????0)，令y=0，解得??=??0???0，
??答案第6页，总9页
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所以切线与x轴的交点为(??0?
??0|2??+??0?????0|，??0)，圆心(2，0)到切线的距离为??=?? ??2+1=2，
∴(2??+??0?????0)2=4(??2+1)，
22
整理得：(??20?4??0)??+(4??0?2??0??0)??+??0?4=0， 设两条切线的斜率分别为??1，????2， 则??1+??2=∴??△??????=
1
2??0??0?4??0
??20?4??0
，????1?·???2=
??20?4
， 2??0?4??0
??0
|(???)?(??002??1?????0)|?·???0
2
=
12??1???2??||20??1??2
=2????20
0?1
(??0?1)2+2(??0?1)+11
=2=2[(??0?1)++2].
??0?1??0?1记??=??0?1∈[4，??+∞)，则??(??)=??++2，
??1
∵??′(??)=1?
1
??2=
??2?1
??2>0，
14
254
254
∴??(??)在[4，??+∞)上单增，∴??(??)≥4++2=，∴??≥2×∴△??????面积的最小值为2．
25
=，
2
25
【点睛】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.
21．（Ⅰ）??(??)min=??(0)=1，????(??)max=??(1)=???1; （Ⅱ）??∈[? 2，??2?ln2]; （Ⅲ）证明过程见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据曲线??=??(??)在点??=0处的切线斜率为1，可求出参数??的值，再对导函数??′(??)在[0,1]的正负，求出??(??)在[0，??1]上单调性，即可求出??(??) 的最值；（Ⅱ）由??′(??)=??????????，构造辅助函数??(??)，再对??(??)进行求导，讨论??的取值范围，利用函数单调性判断函数的最值，进而确定??的取值范围；（Ⅲ）构造辅助函数??(??)，求导??′(??)，求出在[0,+∞)的单调性，可求出??(??)的最小值，即可证明不等式成立. 试题解析：（Ⅰ）∵??′(??)=?????2?????，∴??′(0)=1???=1，∴??=0，
∴??′(??)=?????2??，记??(??)=?????2??，∴??′(??)=?????2，令??′(??)=0得??=ln2． 当??∈(0，??ln2)时，??′(??)<0，????(??)单减；当??∈(ln2，??1)时，??′(??)>0，????(??)单增， ∴??(??)min=??(ln2)=2?2ln2>0，
故??′(??)>0恒成立，所以??(??)在[0，??1]上单调递增， ∴??(??)min=??(0)=1，????(??)max=??(1)=???1． （Ⅱ）∵??(??)=?????2(??+??)2，∴??′(??)=??????????．
′
令??(??)=??????????，∴??(??)=?????1，
′当??≥0时，??(??)≥0，∴??(??)在[0，??+∞)上单增，∴??(??)min=??(0)=1???． （i）当1???≥0即??≤1时，??(??)≥0恒成立，即??′(??)≥0，∴??(??)在[0，??+∞)上单增，
1
∴??(??)min=??(0)=1?
??22
≥0?? 2≤??≤ 2，所以? 2≤??≤1．
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（ii）当1???<0即??>1时，∵??(??)在[0，??+∞)上单增，且??(0)=1???<0， 当10， ∴???0∈(0，??ln(??+2))，使??(??0)=0，即????0=??0+??． 当??∈(0，????0)时，??(??)<0，即??′(??)<0，????(??)单减； 当??∈(??0，??ln(??+2))时，??(??)>0，即??′(??)>0，????(??)单增． ∴??(??)min=??(??0)=????0?2(??0+??)2=????0?2??2??0=????0(1?2????0)≥0，
∴????0≤2?00，∴??(??)在(0，??ln2]上单调递增， ∴??(??)≤??(ln2)=2?ln2，∴1
综上，??∈[? 2，??2?ln2]．
（Ⅲ）??(??)?????≥??ln?????2???+1等价于???????2?????≥??ln?????2???+1， 即?????????≥??ln?????+1．
∵??>0，∴等价于???ln??????e+1≥0． 令??(??)=则??′(??)=
e??e??11
1
1
???ln??????e+1，
??21
(???1)(e???1)
．
∵??>0，∴e???1>0．
当01时，??′(??)>0，??(??)单增．
∴??(??)在??=1处有极小值，即最小值， ∴??(??)≥??(1)=e?1?e+1=0，
∴??=0且??>0时，不等式??(??)?e??≥??ln?????2???+1成立．
【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，不等式成立，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数??的范围，（3）构造辅助函数??(??)，求导??′(??)，求出在[0,+∞)的单调性，可求出??(??)的最小值，即可证明不等式成立，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性. 22．（Ⅰ）??=2cos??;（Ⅱ）??△??????=2.
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意中的相关坐标变换，可得到曲线??1的参数方程，消去参数能求出曲线??1的直角坐标方程，再利用极坐标公式，可得到曲线??1的极坐标方程；
（Ⅱ）设点??，??的极坐标，由直线??与曲线??1相交可得到点??,??的极坐标，进而可求出????????的面积.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，曲线??1的参数方程为{
3??=1+????????，????=????????，??
(??为参数)，
∴曲线??1的普通方程为(???1)2+??2=1，
∴曲线??1的极坐标方程为??=2cos??． （Ⅱ）设点??，??的极坐标分别为(??1，?????1)，(??2，?????2)，
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则由{
??1=3，??
π
π
??1=2cos??1，可得??的极坐标为(1，??)，
3
π
由{可得??的极坐标为(3，??3)． π
2??2cos(??2?)=3 3，6
??2=3，??
π
∵??1=??2，∴|????|=|??1???2|=2， 又??到直线??的距离为2， ∴??△??????=2×
831
32
3×2=2．
323．（Ⅰ）;（Ⅱ）(?∞，??2].
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意得，对??分类讨论，得到分段函数的解析式，画出??(??)的图象即可得到??(??)的图象与??轴围成的三角形的三个顶点坐标，进而得到??(??)的图象与??轴围成的三角形面积；（Ⅱ）利用基本不等式，得到??(??)min，要使对???，??∈(0,+∞)恒有??(??)≥??(??)成立，则??(??)max≥??(??)min，进而可得到??的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）∵??(??)=|??+1|?2|???1|，
???3，????
∴??(??)={3???1，???1≤??≤1，?
???+3，????>1，?
∴??(??)的图象与??轴围成的三角形的三个顶点分别为??(3，??0)，??(3，??0)，??(1，??2)， ∴??△??????=×2×=，
2
3
3
1
8
8
1
∴??(??)的图象与??轴围成的三角形面积是．
3
8
（Ⅱ）∵???∈(0，??+∞)，??(??)=
??2?????+4
??=??+?????≥2 ??×?????=4???，
44
∴当且仅当??=2时，??(??)有最小值4???．
又由（Ⅰ）可知，对???∈(0，??+∞)，??(??)≤??(1)=2． ???，????∈(0，??+∞)恒有??(??)≥??(??)成立，
等价于???，????∈(0，??+∞)，??(??)min≥??(??)max， 等价于4???≥2，即??≤2， ∴实数??的取值范围是(?∞，??2]．
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