根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得mvm?MvM?0(1)1212mvm?mvM?mgR(2)22式中vm,vM分别表示小球、容器相对桌面得速度。由式（1）、（2）可得vm?vM?2MgRM?m习题2－22图
m2MgRMM?m由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂，为此，可改以容器为参考系。在容器底部时，小球相对容器的运动速度为M?m)2gR(3)M在容器底部，小球所受惯性力为零，其法向方程为??vm???vM??(vm?2vmFN?mg?m(4)R由（3）、（4）式可得小球此时所受到的支持力为2mFN?mg(3?)M2－23如本题图所示，质量分别为m1=10.0kg和m2=6.0kg的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力F1= (8.0N)i和F2 =(6.0N)j的作用下运动。试求：(1) 它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。
解：（1）选如图所示坐标，则t＝0时，系统的质心坐标为
习题2－23图
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xC0?yC0?m2x20?1.5mm1?m2m2y10?1.9mm1?m2对小球与杆整体应用质心运动定律得dvFx?F1?(m1?m2)x(1)dtdvFy?F2?(m1?m2)y(2)dt根据初始条件，分别对（）、（12）式积分得tvxFt1Fdt?(m?m)dv,v??3?112xx?0?0m1?m2??t0F2dt??(m1?m2)dvy,0vyvy?F2tm1?m2?4?根据初始条件t＝0时，x?xC0,y?yC0对（3）、（4）式再次积分可得xCxC0dxC??(0tFt1)dtm1?m22Ft1xC?xC0??1.5m?(0.25m?s?2)t22(m1?m2)及?yCyC0dyC??(0tF2t)dtm1?m2
F2t2yC?yC0??1.9m?(0.19m?s?2)t22(m1?m2)(2)利用动量定理并考虑到系统从初始状态为静止，可得???t????2?2p??p??(F1?F2)dt?(8.0kg?m?s)ti?(6.0kg?m?s)tj02－24质量为2×10?3kg的子弹以500m·s?1的速率水平飞出，射入质量为1kg静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100m·s?1，而木块向前滑行了0.2m。求：(1)木块与平面间的摩擦系数 (2)子弹动能和动量的减少量。
解：
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（）在水平方向系统动量守恒，1mv0?mv0'?Mv,?v?0.8m/s木块向前滑行了0.2m，由动能定理得1?uMgs??Mv221 ?1?0.82?u?2?0.1631?9.8?0.211?2－mv02＝2?10－3?0.5?(2)子弹动能的减少量?Ek＝mv0（1002－5002）22＝?240J?－mv0＝2?10－3?子弹动量得减少量?p＝mv0（100－500）=-0.8kgms-12－25如本题图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现
将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。
解：
由机械能守恒得，碰前m的速度为1mv2＝mgl，v＝2gl2由碰撞前后动能和动量守恒得111mv2＝mv?2?MvM2 222mv＝mv??MvM?v?＝m－Mm－Mv?2glm+Mm+M2mvM?2glm+M习题2－25图
2－26一质量为m的运动粒子与一质量为km的静止靶粒子作弹性对心碰撞，求靶粒子获得最大动能时的k值。
解：
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由动量和动能守恒得，mv＝kmv??mv??111mv2＝kmv?2?mv??2222?由（）得1v??=v-kv?由（2）得Ek?(1)(2)111kmv?2?mv2－mv??22221＝mkvv??k2mv?22＝v2mkEk－kEk2mv2?Ek?1(+k)2k?当k＝1时，Ek取最大值4mME0。 2(M?m)
2－27质量为m的中子与质量为M的原子核发生弹性碰撞，若中子的初动能为E0，求证碰撞时中子可能损失的最大动能为
解：设弹性碰撞前中子的动量为P0，碰撞前中子的动量为P1，原子核的动量为P2，由动量守恒的标量式可以得
22P22?P?P10?2P1P0cos?,222P1?2mE1,P2?2ME2,P0?2mE0,E0?E1?E2?ME2?mE1?mE0?2mE0E1cos?(M?m)2E22?4m(M?m)E0E2?4m2E02?4m2E0E1cos2?4mME0E2?(M?m)2E22?4m2E0E1sin2??0 2－28如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角? 应满足cos? = 1/9。
证明：设球A到达最低点的速率为v，根据机械能守恒有
?
?E0?E1?E2?4mME0(M?m)22L
A
B
LC
习题2－28图
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12mv2?mg2l(1?cos?),所以，v?4gl(1?cos?)(1)设碰撞后A，B两球的速率分别为vA,vB,由题意得：e?vB?vAv?0.5即vB?vA?0.5v(2)A，B两球碰撞时水平方向动量守恒：mvB?mvA?mv(3)由(2),(3)式得v3B＝4v(4)碰撞后B球机械能守恒，故有12mv2B?mgl(5)将（），（14）代入（5）得：cos??19
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