初中数学《分式》复习讲义
知识考点：
分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。 精典例题： 【例1】
（1）当x为何值时，分式
x?1x?x?2x?1x?x?22222有意义？
（2）当x为何值时，分式的值为零？
分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式
AB中，若B＝0，则分式
AB无意义；若B≠0，则分式
AB有意义；③分式
AB的值为零
的条件是A＝0且B≠0，两者缺一不可。 答案：（1）x≠2且x≠－1；（2）x＝1 【例2】计算：
（1）
a?4a?2x22??a?2??1a?2
（2）
x?2??2x?x?2
（3）?1??x?1?x?4 ??2x?2?x?2x分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把??x?2?当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。
答案：（1）【例3】计算：
1a?2；（2）
4x?2；（3）?x?2x?1
（1）?（2）
?2?3x1??x?y??x?y ?x?y????x?y?3xx??211?x?21?x21?x??41?x4
分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（1）题可以将?x?y看作一个整体??x?y?，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，即先算
11?x?11?x，用其结果再与
81?x821?x2相加，依次类推。
答案：（1）探索与创新：
2xx?y；（2）
【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：
初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看
这个差是正数、负数还是零。”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。
试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。
（1）假设x、y分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。试用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1＝ ；Q2＝ 。
（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。
解：（1）第一次购买粮食付款100x元，第二次购买粮食付款100y元，两次共付款
?100x?100y?元。
乙第一次购买粮食
100x千克，第二次购买粮食
100y千克，故两次共购买粮食
?100100?????x?千克。 y??
∵平均单价＝
两次购买粮食的总金额两次购买粮食的重量和x?y2
∴Q1＝
100x?100y100?100＝
；Q2＝
100?100100x?100y＝
2xyx?y
（2）要判断谁更合算，就是判断Q1、Q2的大小，小的更合算些。 ∵Qx?yxy?x?y?21－Q2＝
2－
2＝且x?y2?x?y?x≠y∴?x?y?2＞0而2?x?y?＞0 ∴Q1－Q2＞0 故Q1＞Q2
∴乙的购粮方式更合算。 跟踪训练： 一、填空题：
1、当x 时，分式
x?2x2?4有意义。
2 当x 时，分式
x?7x?8x?1的值为零。
当x 时，分式
1?x212?6x的值为负数。
当x 时，分式x22?3x的值为－1。
2、计算：
2①?x?11?x＝ 。
2②????x?3?????y???y＝ ?y???x?x2 。
③
m2m?na?1a?11x?2?n2n?m＝ 。
④
?a?1＝ 。
3、已知
1y?3。则分式
2x?3xy?2yx?2xy?y的值为 。
4、若x＜0，则
xx?113?x?1x?3＝ 。
5、若分式的值是整数，则整数x的值是 。
x?x2326、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值：＝ 。 二、选择题： 1、在代数式
x3x?1x?x?1?x2x?1
、?x?122、
x3?y、
23a?ba?2、
x?1x?1
2
、
a?中，分式的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知
x?2x?3x?6x?91922的值为零，则x?2的值是（ ）
A、－1或 B、1或
1m19 C、－1 D、1
1n3、甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合
制成新盐水的含盐量为（ ） A、
m?n2mn B、
m?nmn C、
1mn D、随所取盐水重量而定
三、计算题： 1、
3?x5????x?2?? x?2?x?2?1x?4x?42 2、?xx?42?12x?4
2?m?nmn?n?mn 3、?2 ?2?22?m?n?n?1?m?2mn?n2 4、
1?a?1a?1? ?????22a?a?2?a?1a?1?a?a?24a?8a四、阅读下面题目的计算过程：
x?3x?12?21?x＝
x?3?x?1??x?1??x?1??x?1??2?x?1? ①
＝?x?3??2?x?1? ② ＝x?3?2x?2 ③
＝?x?1 ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。 五、问题探索：
（1）已知一个正分数
nm（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增
大还是减小？请证明你的结论。
（2）若正分数况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板
面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。
nm（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3?k（整数k＞0），情
参考答案
一、填空题：
1、≠±2，＝8，＞2，＝1或2；2、x?1，?x，m?n， 4、
2xx?922aa?1；3、
35；
；5、2或0；6、略
二、选择题：CDA 三、计算题：
1、?1x?3；2、?x?42?x?2?2；3、?mnm?n；4、?1a?2
四、阅读题：
（1）②；（2）去了分母；（3）五、问题探索：
（1）
nm11?x
＜
n?1m?1nmnm（m＞n＞0）
n?1m?1n?1m?1 证明：∵－＝
n?mm?m?1?＜0（条件是m＞n＞0）
∴（2）
nm＜
＜
n?km?k（m＞n＞0，k＞0）
y?ax?a（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，则由（2）知：＞
yx，所以住宅的采光条件变好了。