时 间：第五周第二次 授课方式：课堂教学 教学内容：
一、灵敏度分析——目标函数系数的变化（§4-1）
1. cj是非基变量xj的系数
在单纯形表中，cj的变化仅影响到其检验数，而且当cj是非基变量xj的系数时，仅影响该非基变量xj的检验数。
非基变量的检验数为 ?j?cj?CBB?1Pj
当cj变化了?cj后 ?'j?cj??cj?CBB?1Pj
??cj?CBBPj?cj
?12．cr是基变量xr在目标函数中的系数 单纯形表中的检验数为 ?j?cj?CBB?1Pj
由于cr是基变量的系数，所以它的变化不仅影响其对应变量的检验数，而且影响到CB的变化，进而影响除基变量之外的所有变量的检验数。 由此得到?cr的变化范围为：
max{?j/arjarj?0}??cr?min{?j/arjarj?0}
jj''''二、灵敏度分析——右端常数项的变化
在最终单纯形表中，右端常数项表示最终基变量的取值，因而不能为负。这时我们谈最优解不变，是指最优基不变。
在单纯形表的最终表中，基变量的取值为：XB?Bb?b
若b中第r个分量br变化了Δbr，即b?b??b 其中 ?b?(0,...,?br,...,0) 则变化后的基变量取值为： XB?Bb?B(b??b)
?Bb?B?b ?b?B?1?1?'T'?1'?1?1?1?0??br?0?
T?有Max{?bi/airair?0}??br?Min{?bi/airair?0}
ii时 间：第六周第一次 授课方式：课堂教学 教学内容：
系数矩阵A的变化（§4-3）
1. 由于aij属于非基变量的系数列向量，所以它的变化仅仅影响到该非基变量的检验数，
而不影响其它任何量。因为Y?0，所以当yi?0时有：?aij??j/yi
2. 系数矩阵A中某列向量变化后的分析：如果系数矩阵A中某一列向量Pj 发生了变化，
且其对应的变量xj为非基变量，那么Pj的变化仅影响最终表中的检验数?j。如果
?'j?0，则说明Pj变化后并不影响当前解；如果??1''j?0，则说明Pj变化后要影响
到当前解，需要求出最终表中第j列的新数据BPj填入第j列，然后以xj为进基变量继续迭代，直到得到最优解。
3. 如果系数矩阵A中发生变化的列向量Pj为基变量，则Pj变化后不仅影响变量xj的检
验数，而且影响到最终表中的Pj也不再是单位列向量，即B和B?1都要变。这时要做的是求出最终表中xj列的数，并通过迭代使该列恢复单位向量，再根据恢复后的状态予以处理。
4. 系数矩阵A中增加一列或一行的分析（通过例题分析说明A中增加一行或一列之后
对最优解的影响。总结如下：
① 若修正后的原问题与对偶问题的解都是可行解，则修正后的解仍是可行解； ② 若出现原问题是可行解，对偶问题是非可行解，则按单纯形法继续迭代求出最优解；
③ 若对偶问题是可行解，原问题是非可行解，则按对偶单纯形法继续求出最优解； ④ 若原问题与对偶问题的解均是非可行解，这时就要引入人工变量，建立新的单纯形表重新计算。
计算机求解中Excel灵敏度报告
时 间：第六周第二次 授课方式：课堂教学/答疑 教学内容：
一、运输问题提出与建模（§5-1）
运输是社会经济生活中必不可少的一个环节，也是我们身边司空见惯的现象，例如，煤炭、粮食、木材等物资在全国各地的调运；企业生产所需原材料及产成品的运进运出；商业部门对销售网点的货物配送等等。
若用xij表示从产地Ai运往销地Bj的运输量，那么在产销平衡条件下，要求总运费最省的运输方案可表示为：
mnijMinZ???ci?1j?1?xij
n满足条件： ?xij?ai （i=1，…,m）
j?1m?xi?1ij?bj （j=1，…,n）
xij?0
解运输问题通常采用表上作业法，这一过程通常分为三个阶段： （1） 给出初始可行方案； （2） 判断是否最优方案； （3） 调整方案。
二、基变量与闭回路（§5-2）
讲解求解运输问题模型的理论基础：基本量的个数，构成基变量应该满足的条件等。
二、初始解的确定方法
1 最小元素法：
最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表中最小运价开始确定产销关系，依次类推，一直到给出初始方案为止。 2 伏格尔法（Vogel）
伏格尔法（Vogel）是对最小元素法的改进，但相对要复杂些。（具体略） Vogel法是对最小元素法的改进，由Vogel法得到的初始方案一般更接近于最优方案。需注意的是用Vogel法所求得初始方案的过程中也可能遇到最小元素法所遇到的问题，以可以用同样的方法去解决。
时 间：第七周第一次 授课方式：课堂教学 教学内容：
运输问题的单纯形方法：（§5-3）
一初始方案的给出 1 最小元素法：
最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表中最小运价开始确定产销关系，依次类推，一直到给出初始方案为止。 2伏格尔法（Vogel）
伏格尔法（Vogel）是对最小元素法的改进，但相对要复杂些。（具体略） Vogel法是对最小元素法的改进，由Vogel法得到的初始方案一般更接近于最优方案。需注意的是用Vogel法所求得初始方案的过程中也可能遇到最小元素法所遇到的问题，以可以用同样的方法去解决。
二、运输问题解的最优性判定
1. 闭回路法：在给出的初始方案计算表上，除了m+n-1个有数字格外，还有m×n-（m+n-1）个空格。从每一空格出发，沿水平或垂直方向前进，当遇到有数字格时可以任意转90度继续前进，也可以串过有数字格继续前进，直到回到起始点。这样总可以找到一个且只有一个闭回路。在这个闭回路中，除了起始点为空格外，其余角点都是有数字点。
如果检验数为正，表明沿此闭回路的调整会使总费用增加；如果检验数为负，表明沿此闭回路的调整会使总费用减少。 如果求得所有空格点的检验数都大于等于零，则当前运输方案为最优方案；如果还有空格的检验数小于零，则还要进一步调整当前运输方案。
2. 位势法：用闭回路法求检验数，思路很清晰简单，但当产销点较多时是十分麻烦的，而位势法是比较简单易行的。
（1） 在表5-13的右端增加一列，记为ui, i=1~m。 在下面增加一行，记为vj，j=1~n。使其满足cij=ui+vj。
（2） 求出所有的空格的位势ui+vj，并将其填入表5-15中。（任一格的位势等于其行位
势加列位势） （3） 在表5-13的右端增加一列，记为ui, i=1~m。 在下面增加一行，记为
vj，j=1~n。使其满足cij=ui+vj。
（4） 由单位运价表中的每一数据cij减去位势表中对应格的位势，得到每个变量的检
验数（如本例的表5-16所示）（注：对应基变量的检验数必为0，可以不写）。 （5） 判定：若所有检验数均大于等于零，则当前解为最优解；若有一个或一个以上的格为负数，则当前解为非最优解，还需进一步调整改进。 三、案的调整：无论是用最小元素法还是用Vogel法给出的初始方案，也不论是用闭回路法
还是用位势法进行最优性判定。当解为非最优解时，也就是存在负的检验数时，都要用闭回路法进行调整。
运输问题的变体（§5-4）
前面三节所述运输问题的理论与表上作业法的计算，都是以产销平衡为前提的 。即各产地的总产出等于各销地的总销量。即：
mni?ai?1??bj?1j
但在实际的运输问题中，其产销往往是不平衡的，为了应用上述理论和表上作业法进行计算，就需要一定的技术措施，把产销不平衡的运输问题化为产销平衡的运输问题来处理。
1. 产大于销 2. 销大于产
运输问题的应用§5-5