若t1?0，可如上法做下去．因t?t1?t2???0，且均为整数．故总能得到某个
ti?1?0，使k?ti2，是完全平方数．综上本题获证．
这种证明的方法叫“无穷递降法”，是17世纪法国数学家费马(Fermat．1601一1665)首创和应用的一种方法．
四．整除
整除的判别方法主要有7大类．
1．定义法．证ba?a?bq，有三种方式． （1）假设a?qb?r，然后证明r?0．（定理4） （2）具体找出q，满足a?bq． （3）论证q的存在．
例18 任意一个正整数m与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除． 证明 设m?an?10?an?1?10nn?1???a1?10?a0，其中0?ai?9,an?0，则
m??an?an?1???a1?a0? ?an10?1?an?110?n??n?1?1????a1?10?1?
???9?an?11?1??a?11?1???a?11?a??n?121?,n个1n?1个1??按定义 9m??an?an?1???a1?a0?． 2．数的整除判别法． （1）任何整数都能被1整除． （2）如果一个整数的末位能被2或５整除，那么这个数就能被2或５整除． （3）如果一个整数的末两位能被４或25整除，那么这个数就能被4或25整除． （4）如果一个整数的末三位能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除． （5）如果一个整数各数位上的数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除． 证明 由10?1?mod3?,10?1?mod9?，有 an?10n?an?1?10n?1???a1?10?a0?an?an?1???a1?a0?mod3?， an?10n?an?1?10n?1???a1?10?a0?an?an?1???a1?a0?mod9? （6）如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或13整除，那么这个数就能被7或11或13整除． 证明 由m?anan?1?a2a1a0 ?anan?1?a3?1001?anan?1?a3?a2a1a0，
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??知 1001anan?1?a3a2a1a0?1001anan?1?a3??a2a1a0， 又由1001?7?11?13，而7,11,13均为素数知，m能被7或11或13整除． （7）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被??11整除． 证明 由10??1?mod11?，有 an?10n?an?1?10n?1???a1?10?a0
?ann??1??an?1??1?n?1???a1??1??a0?mod11?.3．分解法．主要用乘法公式．如
an?bn??a?b??an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1?．
a2n?1?b2n?1??a?b??a2n?2?a2n?3b?a2n?4b2???ab2n?3?b2n?2?．
a2n?b2n??a?b??a2n?1?a2n?2b?a2n?3b2???ab2n?2?b2n?1?．
例19 试证?1?2???9??15?25???95?．
证明 改证45?15?25???95?．设S?15?25???95，则
S??15?85???25?75???35?65???45?55??95 ??1?8?m1??2?7?m2??3?6?m3??4?5?m4?95
?9?m1?m2?m3?m4?94?,得9S．
又 S??15?95???25?85???35?75???45?65??55
??1?9?m1??2?8?m2??3?7?m3??4?6?m4?55?5?2m
1?2m2?2m43?2m4?5?,得5S．
但?9,5??1，得45S，即?1?2???9??15?25???95?．
例20 ?1979,IMO21?1?设p与q为正整数，满足
p11q?1?2?3???111318?1319， 32
求证p可被1979整除（1979p）
证明
p1111?1?????? q2313181319??1111??111???????2??????? 2313181319??241318? ??1?11??111??11??1???????1????????
13181319??23659??231111 ?????66066113181319660?1319661?1318989?990 ?????660?1319661?1318989?990?M660?661???1319
659!M?1979?1319!?1979? 得1979整除1319!p，但1979为素数，?1979,1319!??1，得p可被1979整除． 例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数
m11的分子m是吉祥数． ?1????n220090908m11证明：由?1????
n2200909081111?1??1??????????????????120090908??220090907??1004545410045455?200909092009090920090909 ?????1?200909082?2009090710045454?10045455p?20090909?,1?2???20090907?20090908其中p为正整数，有
20090909?n?p?1?2???20090907?20090908?m，
这表明，20090909整除1?2???20090907?20090908?m，但20090909为素数，不能整除1?2???20090907?20090908，所以20090909整除m，得m是吉祥数．
4． 余数分类法．
例21 试证3n?n?1??2n?1?．
证明1 任何整数n被3除其余数分为3类
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n?3k,n?3k?1,n?3k?2,k?Z， （1）n?3k时，有
n?n?1??2n?1??3??k?3k?1??6k?1???, 有3n?n?1??2n?1?． （2）n?3k?1时，有
n?n?1??2n?1??3???3k?1??3k?2??2k?1???,
有3n?n?1??2n?1?． （3）n?3k?2
n?n?1??2n?1??3???3k?2??k?1??6k?5???,
有3n?n?1??2n?1?． 综上得，3n?n?1??2n?1?． 证明2 n?n?1??2n?1??2n?2n?2??2n?1?4，
得 32n?2n?2??2n?1?， 又?3,4??1，得
3n?n?1??2n?1?．
5．数学归纳法． 6．反证法． 7．构造法．
例22 k个连续整数中必有一个能被k整除． 证明 设k个连续整数为
a,a?1,a?2,?,a?k?1，
若这k个数被k除没有一个余数为0，则这k个数的余数只能取1,2,?,k?1，共k?1种情况，必存在两个数
a?i,a?j,0?i?j?k ， 使 a?i?kq1?r,
a?j?kq2?r,
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其中q1?q2，相减
i?j?k?q1?q2?， 有 i?j?kq1?q2?k， 即 i?j?k
与i?j?k矛盾．故k个连续整数中必有一个能被k整除． 也可以由i?j?k?q1?q2?得 0?i?j?k?q1?q2??k， 推出0?q1?q2?1，与q1?q2为整数矛盾． 例23 k个连续整数之积必能被k!整除． 证明 设k个连续整数为
n,n?1,n?2,?,n?k?1， （1）若这k个连续整数为正整数，则
n?n?1??n?2???n?k?1?k!?n!k!?n?k?!??C?
kn只须证明，对任何一个素数p，分子中所含p的方次不低于分母中所含p的方次，由高斯函数的性质?x?y???x???y?，有
kn?k??n?k???n??k??n?k??????ps???ps???ps???ps? ????????得
C为整数（证实了组合数的实际意义）
（2）若这k个连续整数中有0，则连乘积为0，必能被k!整除．
（3）若这k个连续整数为负整数，则
n?n?1??n?2???n?k?1? ???1?kk!??n???n?1???n?2????n?k?1?k!
???1?由（1）知
kCk?n,n?n?1??n?2???n?k?1?k!为整数．
Ck为整数，故?n例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（n?3），若顺序相邻的3人中恰有一
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