第一章 回溯法
1.1 马拦过河卒
源程序名 knight.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 knight.exe 输入文件名 knight.in 输出文件名 knight.out 【问题描述】
棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n, m)(n, m为不超过15的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。
【输入】 一行四个数据，分别表示B点坐标和马的坐标。 【输出】 一个数据，表示所有的路径条数。 【样例】 knight.in 6 6 3 3
knight.out 6
【算法分析】 从起点开始往下走(只有两个方向可以走)，如果某个方向可以走再继续下一步，直到终点，此时计数。最后输出所有的路径数。这种方法可以找出所有可能走法，如果要输出这些走法的话这种方法最合适了，但是本题只要求输出总的路径的条数，当棋盘比较大时，本程序执行会超时，此时最好能找出相应的递推公式更合适，详见后面的递推章节。
1.2 出栈序列统计
源程序名 stack1.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 stack1.exe 输入文件名 stack1.in 输出文件名 stack1.out 【问题描述】 栈是常用的一种数据结构，有n令元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两·种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，?，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。
【输入】 一个整数n（1<=n<=15）
【输出】 一个整数，即可能输出序列的总数目。 【样例】 stack1.in 3
stack1.out 5
【算法分析】 先了解栈的两种基本操作，进栈push就是将元素放入栈顶，栈顶指针上移一位，等待进栈队列也上移一位，出栈pop是将栈顶元素弹出，同时栈顶指针下移一位。
用一个过程采模拟进出栈的过程，可以通过循环加递归来实现回溯：重复这样的过程，如果可以进栈则进一个元素，如果可以出栈则出一个元素。就这样一个一个地试探下去，当出栈元素个数达到n时就计数一次(这也是递归调用结束的条件)。
1.3 算24点
源程序名 point24.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 point24.exe 输入文件名 point24.in 输出文件名 point24.out 【问题描述】 几十年前全世界就流行一种数字游戏，至今仍有人乐此不疲．在中国我们把这种游戏称为“算24点”。您作为游戏者将得到4个1~9之间的自然数作为操作数，而您的任务是对这4个操作数进行适当的算术运算，要求运算结果等于24。 您可以使用的运算只有：+，-，*，/，您还可以使用（）来改变运算顺序。注意：所有的中间结果须是整数，所以一些除法运算是不允许的（例如，(2*2)/4是合法的，2*(2/4)是不合法的）。下面我们给出一个游戏的具体例子： 若给出的4个操作数是：1、2、3、7，则一种可能的解答是1+2+3*7=24。 【输入】 只有一行，四个1到9之间的自然数。 【输出】 如果有解的话，只要输出一个解，输出的是三行数据，分别表示运算的步骤。其中第一行是输入的两个数和一个运算符和运算后的结果，第二行是第一行的结果和一个输入的数据、运算符、运算后的结果；第三行是第二行的结果和输入的一个数、运算符和“=24”。如果两个操作数有大小的话则先输出大的。 如果没有解则输出“No answer!” 【样例】 point24.in point24.out 1 2 3 7 2+1=3 7*3=21 21+3=24 【算法分析】 计算24点主要应用四种运算．开始状态有四个操作数，一个运算符对应两个操作数，所以一开始选择两个操作数分别对四个操作符进行循环检测，每一次运算后产生了新的数，两个数运算变成一个数，整体是少了一个操作数，所以四个数最终是三次运算。由于操作的层数比较少(只有三层)，所以可以用回溯的算法来进行检测，当找到一个解时便结束查找。如果所有的情况都找过后仍然没有，则输出无解的信息。
1.4 冗余依赖
源程序名 redund.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 redund.exe 输入文件名 redund.in 输出文件名 redund.out 【问题描述】 在设计关系数据库的表格时，术语“函数依赖”（FD）被用来表示不同域之间的关系。函数依赖是描述一个集合中的域的值与另一个集合中的域的值之间的关系。记号X->Y被用来表示当集合X中的域被赋值后，集合Y的域就可以确定相应的值。例如，一个数据表格包含“社会治安编号”（S）、“姓名”（N）、“地址”（A）、“电话”（P）的域，并且每个人都与某个特定的互不相同的S值相对应，根据域S就可以确定域N、A、P的值。这就记作S->NAP。
写一个程序以找出一组依赖中所有的冗余依赖。一个依赖是冗余的是指它可以通过组里的其他依赖得到。例如，如果组里包括依赖A->B、B->C和A->C，那么第三个依赖是冗余的，因为域C可以用前两个依赖得到（域A确定了域B的值，同样域B确定了域C的值)。在A->B、B->C、C->A、A->C、C->B和B->A中，所有的依赖都是冗余的。 现在要求你编写一个程序，从给定的依赖关系中找出冗余的。 【输入】 输A的文件第一行是一个不超过100的整数n，它表示文件中函数依赖的个数。从第二行起每一行是一个函数依赖且互不重复，每行包含用字符“-”和“>”隔开的非空域列表。列表月包含大写的字母，函数依赖的数据行中不包括空格和制表符，不会出现“平凡”冗余依赖（如A->A）。虽然文件中没有对函数依赖编号，但其顺序就是编号1到n。 【输出】 每一个冗余依赖，以及其他依赖的一个序列以说明该依赖是冗余的，先是一个FD，然后是依赖函数号，接着是\：”最后是说明的序列号。 如果许多函数依赖的序列都能被用来说明一个依赖是冗余的，则输出其中最短的证明序列。如果这些函数依赖中不包含冗余依赖，则输出“No redundant FDs”信息。 【样例1】 【样例2】 redund.in redund.out redund.in redund.out 3 FD 3 is redundant using FDs: 1 2 6 FD 3 is redundant using FDs: 1
A->BD {即C可以通过1、2得到} P->RST FD 5 is redundant using FDs: 4 6 2
BD->C VRT->SQP A->C PS->T Q->TR QS->P SR->V
【算法分析】
一个依赖冗余，就是说它可以由其他依赖推导出来。如何判断一个依赖能否被其他依赖推导出来呢？假设判断的依赖为“a->b”，先找出所有形式为“a->*”的依赖，再由*开始找相关依赖，直到出现“#->b”为止(这里a、b、*、#都表示任意一个域名)。 如何实现这种查找呢？可以通过筒单的回溯来完成。只是找出冗余(如果有的话)还不说明工作就已结束，要到找出所有的能够推导出b的依赖序列，选出其中长度最短的(最短的也可能并不惟一，因此本题答案有可能并不惟一)，最短的证明序列中一定不存在多余的依赖，如果不是最短的证明序列，那么该证明序列中就有可能还有冗余依赖。
1.5 走迷宫
源程序名 maze.???（pas, c, cpp） 可执行文件名 maze.exe 输入文件名 maze.in 输出文件名 maze.out 【问题描述】
有一个m*n格的迷宫(表示有m行、n列)，其中有可走的也有不可走的，如果用1表示可以走，0表示不可以走，文件读入这m*n个数据和起始点、结束点(起始点和结束点都是用两个数据来描述的，分别表示这个点的行号和列号)。现在要你编程找出所有可行的道路，要求所走的路中没有重复的点，走时只能是上下左右四个方向。如果一条路都不可行，则输出相应信息(用-l表示无路)。
【输入】
第一行是两个数m，n(1 【输出】 所有可行的路径，描述一个点时用(x，y)的形式，除开始点外，其他的都要用“一>”表示方向。 如果没有一条可行的路则输出-1。 【样例】 maze.in 5 6 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 5 6 maze.out (1,2)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(