图2-4 近似吸收边界条件作用后残留的反射波与入射波之比
根据Yee氏元胞网格的特点，在FDTD截断边界面上只有电场切向分量和磁场法向分量。以x?0界面为例，此界面仅有Hx，Ey，Ez节点。由于FDTD中
Hx的计算式不涉及x?0区域，即不涉及截断边界界面外的节点。所以，吸收
边界条件将不考虑Hx，而只考虑电场切向分量Ey和Ez。以Ez为例，对一阶和二阶吸收边界条件分别有
??1?????EZ??xc?t?x?0?0 (2-15a)
?1?21?21??2?2???22???2???EZ2??2??y?z???c?x?tc?tx?0?0 (2-15b)
将式(2-15b)分别在距离边界半个空间步长的辅助网格点?i?12,j,k?12?处及
n?t时刻离散，此时Ez的位置在?i,j,k?12?，并对各项做差分近似，同时对
辅助网格点处的场值应用线性插值，假设?x??y??z??，可得到一阶吸收边界条件在三维情况的形式：
fn?1(i,j,k?12)?fn(i?1,j,k?12)?c?t??n?1?f(i?1,j,k?12)?fn(i,j,k?12)? (2-16) c?t??式中f代表截断边界上切向场分量。
将式(2-16)所示二阶吸收边界推广到长方体元胞各边?x、?y和?z不相等情形。设边界为x?0，对于Ez分量有
n?1n?1EZ(0,j,k?12)??EZ(1,j,k?12)?c?t??xn?1?EZ(1,j,k?12)?EZn?1(0,j,k?12)?
c?t??x2?x?EZn(0,j,k?12)?EZn(1,j,k?12)??c?t??xnn2E(0,j?1,k?12)?2E??ZZ(0,j,k?12)?x?c?t?nn??EZ(0,j?1,k?12)?EZ(1,j?1,k?12)??22??y??c?t??x???2EZn(1,j,k?12)?EZn(1,j?1,k?12)?
??nn2?EZ(0,j,k?32)?2EZ(0,j,k?12)??x?c?t?nn???E(0,j,k?12)?E(1,j,k?32)?ZZ22??z??c?t??x???2EZn(1,j,k?12)?EZn(1,j,k?12)???(2-17)
同理，可以得到所有截断边界面上切向场分量的一阶和二阶差分式。需要注意的是，用二阶近似条件计算界面上与棱边相邻的一列节点时会涉及棱边上的场值。因此，要想避免用到棱边上的场值，只需对截断边界面上切向场分量的计算按以下两种情况区别对待：（1）截断边界面上与棱边相邻的一列场分量采用一阶差分式；（2）截断边界面上其它场分量采用二阶差分式。这样，就完全不必考虑棱边上的场分量，避免了计算棱边上场分量所带来的误差。实际计算表明，这样做提高了吸收边界条件的精度和FDTD计算的稳定性。但是，就目前FDTD的发展来看，G.Mur的一阶和二阶吸收边界条件已不能满足目前高精度计算的要求。
2.4.2 二维棱边及角顶点的处理
对于二维电磁场问题，在用FDTD计算边界处的元胞时，将涉及到截断边界外侧的节点。如对于二维TM情况，电磁场分量有Ez,Hx,Hy，由图2-5可见，在用FDTD计算边界处的TM元胞
Hxn?12(i,j?12)和Hyn?12(i?12,j)时并不
n?1涉及截断边界以外E或H的节点。只有Hz(i,j)涉及截断边界外侧的H节点。
因此，只需给出边界处切向场分量Ez的吸收边界条件。同样，对于TE波只需给出边界处切向场分量Hz的吸收边界条件。表2-2为矩形截断边界面上节点的二阶Mur吸收边界条件。
EZ?i,j?12?HxHx?i?1,j?12??HyyZEZ?i,j?(i?12,j)?i?1,j?
x图2-5 二维TM左截断边界元胞
表2-2 矩形截断边界四边上的二阶Mur吸收边界条件
截断边界位置 二阶Mur吸收边界条件 TM TE x?0 ??EZ1?EZc??Hx???x?c?t?2?y??0 ??x?0??EZ1?EZc??Hx???x?c?t?2?y??0 ??x?a??HZ1?HZc??Ex???x?c?t?2?y??0 ??x?0??HZ1?HZc??Ex???x?c?t?2?y??0 ??x?ax?a y?0 y?b ??EZ1?EZc??Hy???y?c?t?2?x??0 ??y?0??EZ1?EZc??Hy???y?c?t?2?x??0 ??y?b??HZ1?HZc??Ey???y?c?t?2?x??0 ??y?0??HZ1?HZc??Ey???y?c?t?2?x??0 ??y?b在二维矩形计算区域的角点，吸收边界条件的离散式需特殊考虑。假设角点附近只有向外传播的行波，且传播方向沿角点处元胞的对角线，如图2-6所示的矩形区域左下角点处的TM元胞为例，导出适用于角点的吸收边界条件离散式。
根据Courant稳定条件c?t??2式，有2c?t?2?。在点?i0,j0?与对角点
?i0?1,j0?1?之间取一点P，对于沿对角线的外行波，有以下等式：
n?i0,j0??EZn?2?P? （2-18） EZ由于传播距离2c?t很小，上式中略去了振幅的衰减。在利用线性插值
n?2n?2n?2n?2????EZi0,j0??EZP?EZi0,j0??EZi0?1,j0?1? （2-19） ?2c?t2?由式（2-18）解出EZnZn?2?P?后代入（2-17）式得
?2c?t?n?22c?tn?2??E?i0,j0???1?EZ?i0,j0??EZ?i0?1,j0?1? （2-20） ?????或
n?1?i0,j0??EZn?i0?1,j0?1??EZc?t?2?n?1?EZ?i0?1,j0?1??EZn?i0,j0??c?t?2?（2-21）
对于矩形域的其它角点可作类似的处理。对于二维TE波情况，将式（2-19）（2-21），式中的EZ换为HZ即可。
?i,jb?0y右上角点?ia,jb?左上角点?i0?1,jb?1??ia?1,jb?1??i2?0?1,j0?1?对角点?ia?1,j0?1?EZ左下角点?i0,j0?x(ia,j0)右下角点
图2-6 矩形域四个角点
2.4.3 完全匹配层
完全匹配层[16~18]（Perfectly Matched Layer, PML）是1994年由J.P.Berenger首先提出，并将其设置在FDTD计算区域截断边界处，用来吸收外向电磁波。Berenger假设将电磁场分量在PML介质中分裂，并分别对各个分裂的场分量赋以不同的损耗。这就相当于在FDTD区域截断边界外设置了一种特殊的非物理的吸收介质层，该层介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配，因而外向波将无反射地穿过分界面进入PML。同时，由于PML为有耗介质，而且不依赖于外向波的入射角和波阻抗，即使为有限厚度，外向波在其中也会迅速衰减。在实际计算中，PML是目前一种很常用的吸收边界条件，有很好的吸收效果，其总的网格噪声能量是使用普通吸收边界条件时的1/107，可使FDTD模拟的最大动态范围达到80dB。
在PML介质中，其网格剖分方式与常规FDTD网格完全一致，每个场分量在网格中的位置也不变，只是都被分裂为两个子分量。这样，式(2-1)可写成
??Exy?t??yExy??(Hzx?Hzy)?y (2-22a)
?(Hyz?Hyx)?Exz???zExz?? (2-22b) ?t?z??Eyz?t?Eyx?t??zEyz??(Hxy?Hxz)?z (2-22c)
???xEyx???(Hzx?Hzy)?x (2-22d)
??(Hyz?Hyx)?Ezx??xEzx? (2-22e) ?t?x??Ezy?t?Hxy?t??yEzy???(Hxy?Hxz)?y (2-22f)
???myHxy???(Ezx?Ezy)?y (2-22g)
??(Eyz?Eyx)?Hxz??mzHxz? (2-22h) ?t?z?Hyz?t??mzHyz???(Exy?Exz)?z (2-22i)
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