311 则原式??3?(cos40??cos80??cos160?)?(cos80??cos160??cos320?)
82895 ??(cos40??cos80??cos160?)
8895 ??(2cos60?cos20??cos20?)
88
（4）由上面的降幂公式再继续施行开方运算变形，又可得半角公式： ，
对于“半角”的理解是相对的，要注意半角公式中根号前的符号，由角所在的象限确定，若不能确定出角所在的象限，则根号前应同时保留正、负两个符号. 例14 已知，化简.
分析 化简本题的关键是要去根号，而去根号的关键是将被开方数写成平方形式，并要注意角的象限，由此想到用到升幂公式及半角正、余弦公式. 解 ，，即是第二象限角，是第三象限角，则 原式 ==== ===
三角公式的灵活变形应用是三角恒等变换的一种主要方法与技巧，由于三角函数的恒等变换的公式有很多，从而使得三角问题的解决具有灵活性、多样性与技巧性的特点，要求我们具有较好的思维能力，熟练掌握变换的基础与依据，深刻理解公式，抓住公式特点，灵活变形运用，才能顺利而简洁地解决问题.
3.3 变形递推公式，巧求数列通项
对于由递推公式确定数列通项公式的问题，通常的做法是通过对递推公式变形，转化为等差数列或等比数列来加以解决，下面分类举例说明： （1）线性分式型
对于这种类型的题目，常用取倒数法将原递推公式变形. 例15 已知数列中，，，求的通项公式.
解 对原递推公式取倒数变形为：，则易知是以为首项、以2为公差的等差数列.所以，，故. （2）型
对于这种类型的题目，常将移项变形为，用累加法：
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1??f(i).
i?1n?1例16 在数列中，已知，，求其通项公式.
解 由（1）知原递推公式取倒数可变形为：，化为（2）型， 再移项变形为， 所以，，，，??，，
将以上个式子左右两边分别相加得：
111111??2?3?4???n， ana12222即
111111??2?3?4???n ana12222 ?11111?2?3?4???n 22222
所以，. （3）·型
对于这种类型的题目，常将·变形为，用累积法： ··?··.
例17 已知数列中，，·（），求数列的通项公式. 解 当时，由··?·得： 当时， 所以， （） （4）型
对于这种类型的题目，常见的有以下三种变形方法[7]： ①将原式配凑成的形式，再用累加法求通项. ②将原式变形为，再根据等比数列的相关知识求. ③将原式变形为，先用累加法求出，再求. 例18 在数列中，，当时，有，求数列的通项公式. 解 由已知递推公式得：（），将这两个式子左右两边
分别相减，即可得到变形递推公式，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
则， 即，所以. （5）型[8]
对于这种类型的题目，可将原式变形为·，引入辅助数列，得，然后可归结为类型（4）求解.
例19 已知且，，·（），写出用和表示的的通项公式. 解 将已知的递推公式两边同时乘以，得：
··
又设·，于是，原递推公式可化为：， 仿类型（4），可解得， 故. （6）型
对于这种类型的题目，通常引入一些尚未待定的系数转化命题结构，然后经过变形与比较，把问题转化为基本数列（等差或等比数列）求解. 例20 设数列满足：，（），求通项公式. 解 设，则，，
1又，所以：bn?An?B?[bn?1?A(n?1)?B]?2n?1化为了（4）型，则
21111bn?bn?1?(A?2)n?(A?B?1)，设，，
2222解得，，，所以，且，又是以3为首项、 以为公比的等比数列，故有，由此得：. （7）型
对于这种类型的题目，也通常引入一些尚未待定的系数，将原式变形为 ，构造等比数列求解[9]. 例21 已知数列中，，，，求.
解 在原递推公式两边同时减去，得到新的递推公式:
，
所以是以为首项、以为公比的等比数列，
则，令该式中的，再把这（）个式子左右两边分别相加，得：
111an?a1?1?(?)?(?)2???(?)n?233311?(?)n?1313??[1?(?)n?1]
1431?3
所以，.
等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是各种考试考查的热点，而由递推公式确定数列通项公式的问题其考查的目的就是在于测试学生灵活将递推公式变形运用的能力，“变形”是为了“转化”，转化的目的是为化陌生为熟悉，而我们最熟悉的数列即等差、等比数列，根据不同的递推公式采用不同的变形手段，达到转化的目的，最后求解.
4 小结
“学无止境，教无定法”，数学的教与学也是如此.中学数学中错综复杂的公式、繁重的计算量常常使许多学生无所适从，既花费了大量的时间，又得不到正确的答案。如 何化繁为简，找到解题的捷径，学会解题技巧，许多教师在长期教学实践中不断地探索研究，发现如能对某些基本公式加以适当变形，灵活运用，则会使得解题思路清晰明朗，解题过程简洁凑效.本文就乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.现在，公式变形大量应用于中、高考题目的计算中.著名数学教育家波利亚曾说过：“一个专心认真备课的教师能拿出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.”因此现在有意地培养中学生的公式变形能力已经成为了中学教师义不容辞的任务，各教师都应积极寻找并总结出自己对各种公式的变形方法及巧妙应用，更好地帮助学生提高解题能力，应对各种考试题型.
参考文献
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[4] 冯克永.cos2?公式的变形及活用[J].上海中学数学,2007（2）：10-13. [5] 林庆望.让数学公式“活”起来[J].中学教研（数学）,2005(1):6.
[6] 李名德，李胜宏.高中数学竞赛培优教程（第二版）[M].浙江:浙江大学出版社,2009年6月：110-111.
[7] 冯寅.谈数学公式的学习[J].高中数学教与学,2002(2):8-9.
[8] 刘真真.由递推公式求数列通项公式常见题型及解法[J].基础教育论坛,2011(3):6-8.
[9] 米小渊.由递推公式求数列通项公式常见问题分析[J].语数外方法技巧,2012(4):2-3.
谢辞
四年的在校学习、生活以及论文写作的过程中得到很多老师和同学的支持与帮助.首先要感谢的是我的指导教师—李老师.她对工作的认真与负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神，令我很受触动.在论文的选题、撰写、修改、定稿中都凝聚了李老师的大量心血.李老师悉心的指导与严格的监督，促使我最终圆满地完成了论文.李老师的为人作风与严谨治学的态度将会在我今后的学习和工作中继续产生重要影响.值此论文完成之际，我谨向李老师致以深深的敬意和感谢!同时，此次论文的完成也离不开其他老师和同学的支持与帮助，借此机会，向各位老师和同学一并献上诚挚的感谢与祝福.此次论文的写作过程对我来说是一次学习过程，其中遇到了很多的困难，虽然尽力解决，但由于某些理论知识的欠缺、分析技术和资料掌握的局限，使论文在研究的深度和精细程度上远远不足，论文中肯定存在不少的问题和错误，敬请各位老师在审阅中给予批评、指正.